SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024 – 2025
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 02 trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
1. Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức

.
.

b) Định giá trị của biểu thức
2. Xét đa thức

tại

.
với

thoả mãn

Tính giá trị biểu thức
Câu 2: (5,0 điểm)

.

1. Giải phương trình

2. Giải hệ phương trình
3. Trong mặt phẳng tọa độ
. Tìm đường thẳng cố định khi
thẳng cố định đó.
Câu 3: (5,0 điểm)

.

.

.
, xét hai đường thẳng
thay đổi thì giao điểm của

và
và

luôn nằm trên đường

Cho tam giác
nhọn
nội tiếp đường tròn tâm . Dựng các đường cao
của tam giác
đồng quy tại điểm . Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt
đường tròn
tại điểm thứ hai là điểm
và cắt đường thẳng
tại điểm
. Hai đường
thẳng
và
cắt nhau tại điểm . Gọi điểm
là trung điểm của đoạn
.
a) Chứng minh rằng 4 điểm
cùng thuộc một đường tròn và ba điểm
thẳng
hàng.
b) Chứng minh rằng
vuông góc với
.
c) Kẻ đường kính
của đường tròn
và điểm là trực tâm của tam giác
. Đường
thẳng
cắt các cạnh
tại
. Chứng minh điểm là trung điểm của
.
Câu 4: (2,0 điểm)
1. Cắt bỏ đi phần giấy dạng hình quạt tròn tô màu
(như hình 1) có bán kính kính
.Rồi
dán hai bán kính
và
của hình quạt còn lại với nhau để được một cái phễu dạng hình nón
(như hình 2).Gọi
là số đo góc ở tâm của phần hình quạt dùng làm phễu. Tính giá
trị của để cái phễu hình nón đó đạt thể tích lớn nhất.

Trang 1

2. Trên hệ trục toạ độ
tại điểm

. Đường thẳng

, dựng parabol
cắt

và

tại điểm

cắt nhau

có hoành độ âm. Lấy ngẫu nhiên trong miền

của parabol
1 nội điểm có toạ độ
là những số nguyên của tam giác
của biến cố : “Lấy được điểm có toạ độ
thoả mãn
”.
Câu 5: (3,0 điểm)
1. Cho

thỏa

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2. Tìm tất cả các cặp số

có

. Tính xác suất

.
nguyên thỏa mãn phương trình sau:

.
----- HẾT ---- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi!
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ...................................................................................................................
Số báo danh:.............................................................................................................................

Trang 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm 02 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
BÀI THI MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm bao gồm 08 trang)
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
1.1
Cho biểu thức

.

a) Rút gọn biểu thức

.

Điều kiện xác định của
Rút gọn biểu thức

2,0

0,25

là:

:
0,5

0,5

0,5

0,25
b) Định giá trị của biểu thức

Ta luôn có:

tại

1,5
.
0,25
0,25
0,25

Với

thì
0,25
0,25

0,25
Vậy
Xét

theo giá trị của
đa

thức

thoả mãn đề bài
với

thoả

. Tính giá trị biểu thức
1.2

Xét

mãn

1,5

.

hay

(1)

Xét
hay
Từ (1) và (2) ta có:
Ta có biểu thức:

(2)

0,25
0,25
0,5
0,5

Giải phương trình
Ta có:

.

1,5
0,25
0,25
0,25

2.1
0,25

Từ phương trình (*) ta có:
0,25

Vậy phương trình có nghiệm là:

0,25

2,0
Giải hệ phương trình

.

Hệ phương trình tồn tại khi

0,25

Ta có
Từ

ta được:
0,25

2.2

0,25
Ta nhận thấy:
Kết hợp phương trình

với

hay

0,25

thì ta được:

0,25
0,25

Do đó ta có:
- Với
- Với
2.3

hay

suy ra

0,25
0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
Trong mặt phẳng tọa độ

, xét hai đường thẳng

. Tìm đường thẳng cố định khi
điểm của
Gọi điểm

và

và
thay đổi thì giao

1,5

luôn nằm trên đường thẳng cố định đó.
là giao điểm của

và

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

là:

0,25
0,25

Với
Gọi

là đường thẳng cố định luôn đi qua
0,5
hay
0,25

Vậy khi

thay đổi thì điểm

luôn nằm trên đường thẳng cố định

0,25

3

.
Cho tam giác
đường cao

nhọn
nội tiếp đường tròn tâm . Dựng các
của tam giác
đồng quy tại điểm
. Đường

tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường tròn
tại điểm thứ hai là điểm
và cắt đường thẳng
tại điểm . Hai đường thẳng
và
cắt
nhau tại điểm . Gọi điểm
là trung điểm của đoạn
.
a) Chứng minh rằng 4 điểm
cùng thuộc một đường tròn và
ba điểm
thẳng hàng.

2,0

A

S

E
F
H

J

B

Vì

D

là những tam giác vuông

K

O

C

M

nội tiếp

(*)
Lại có:

là những tam giác vuông

0,125

nội tiếp
0,125

Ta có:

cân tại

Ta có:

là những tam giác vuông

nội tiếp

0,25

Ta luôn có:
Kết hợp (*)
và

Tứ giác
nội tiếp
4 điểm
cùng thuộc một đường tròn
Gọi điểm
là giao điểm của
với đường tròn ngoại tiếp
Vì

nội tiếp nên

0,25
0,125

0,125

(c.g.c)
Vì

0,125

0,125
(c.g.c)

(c.g.c)

0,25

(1)

Ta nhận thấy: Theo giả thiết thì
nội tiếp

là những tam giác vuông
0,25

(2)
Từ (1) và (2)
b) Chứng minh rằng

vuông góc với

0,25

thẳng hàng

.

1,5

Ta có:
Ta lại có

Ta có:

0,25

0,25

(c.g.c)

(3)

Theo giả thiết ta luôn có
mà
lại là điểm thuộc đường tròn
ngoại tiếp
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
, vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
(4)
Từ (3) và (4)

Mà

0,25

thẳng hàng
là trực tâm của
(5)

0,25

thuộc đường tròn đường kính

Từ (5) và (6)

(6)

thẳng hàng

0,25

c) Kẻ đường kính
của đường tròn
và điểm
là trực tâm của tam
giác
. Đường thẳng
cắt các cạnh
tại
. Chứng minh
điểm là trung điểm của
.
A

S
EQ
F
H
P
J

B

0,25

K
O

T

D

C

M

X

1,5

Vì

là đường trung bình của
Tương tự
mà

0,25

là hình bình hành

0,25

là hình bình hành

0,25

Ta có:

0,25

Ta có:
0,25
Tương tự:

4.1

Do đó
Suy ra là trung điểm của
Cắt bỏ đi phần giấy dạng hình quạt tròn tô màu
(như hình 1) có bán
kính kính
.Rồi dán hai bán kính
và
của hình quạt còn lại với
nhau để được một cái phễu dạng hình nón (như hình 2).Gọi
là số đo góc ở tâm của phần hình quạt dùng làm phễu. Tính giá trị của
cái phễu hình nón đó đạt thể tích lớn nhất.

0,25

để
1,0

Ta luôn có

suy ra

0,125

Ta lại có
Do đó thể tích của phễu hình nón là

0,125

Vì

0,25

. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta luôn có

0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy thể tích của cái phễu đạt giá trị lớn nhất là

khi và chỉ

0,25

khi
Trên

hệ

trục

toạ

độ

,

dựng

parabol

cắt nhau tại điểm
tại điểm

và

. Đường thẳng

cắt

có hoành độ âm. Lấy ngẫu nhiên trong miền của parabol

1 nội điểm có toạ độ
là những số nguyên của tam giác
xác suất của biến cố : “Lấy được điểm có toạ độ
thoả mãn

1,0

. Tính
”.

4.2

Xét trong miền của parabol những nội điểm có toạ độ
nguyên của tam giác
là:

là những cặp số

Không gian mẫu của phép thử là
Các kết quả thuận lợi cho biến cố : “Lấy được điểm có toạ độ
mãn

5.1

0,25

0,25
thoả

” là:

0,25

Xác suất của biến cố là
Cho

0,25

thỏa

.

1,5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt

.

với

0,25

Ta có:
Và

Do đó

0,25

Tương tự như vậy

0,25

Cộng vế theo vế ta được
0,25

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

5.2

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

Tìm tất cả các cặp số

có

Ta có phương trình:

0,25
nguyên thỏa mãn phương trình sau:

1,5

.
0,25
0,25

Ta thấy rằng do
nguyên nên
Để dấu xảy ra thì
Phân tích

.

0,25
0,25

Do đó dự đoán các giá trị nguyên ta được hệ
Giải hệ ta được nghiệm nguyên duy nhất là

Lưu ý:

.
.

0,25

0,25
Vậy phương trình nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất là
---- HẾT ---Thí sinh có cách giải, trình bày khác nhưng đúng và hợp lí thì vẫn chấm điểm.
Cán bộ chấm thi không được chấm theo thang điểm khác!