MÃ KÍ HIỆU



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán
Năm 2021
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 5 câu, 01 trang)


Câu 1: (4 điểm).
Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P > 0.
c) Tìm giá trị của a để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 2: ( 4 điểm).
a). Chứng minh
thì
là hợp số.
b) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
.Câu 3: ( 4 điểm).
a) Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho x - 3 dư 7; chia cho x – 2 dư 5;
chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x và còn dư.
b) Giải phương trình: (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6
Câu 4: (6 điể m)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (MB 1. Chứng minh
vuông cân
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh

Câu 5: (2 điểm)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng:


b) Cho hình vuông ABCD và 2021 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng
. Chứng minh rằng có ít nhất 506 đường thẳng trong 2021 đường thẳng trên đồng quy.


…………..Hết…………..










MÃ KÍ HIỆU



HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm 2021
MÔN: TOÁN LỚP: 8
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)



Câu
Đáp án
Điểm

















1
(4 điểm)





a (2 điểm)



Điều kiện:

Ta có: P =

=


0,5






=


0,5


=

0,5


=
=

Vậy P =
với

0,5


b) (1 điểm)




P > 0 khi 4a > 0 suy ra a > 0

0,5


kết hợp với ĐKXĐ

Vậy P > 0 khi a > 0 và


0,5


c) (1 điểm)


Ta có P =
=

Vì
với mọi a nên
với mọi a

0,5


Dấu “=” xảy ra khi

Vậy MaxM = 1 khi a = 2.
0,5











2
(4 điểm)

(2 điểm)


Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)
1



=(n+1)( n2 - n + 2)
0,5


Do
nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số
0,5


(2điểm)


Vì x, y, z là các số nguyên thỏa mãn x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
(*)
0,5



Mà


0,5



 (*)

0,5





Kết luận: Vậy (x;y; 2; 1)z) =(1; 2; 1)
0,5










3
(4 điểm)

a) (2,0 điểm)


Vì đa thức (x - 2)(x – 3) có bậc là 2 nên phần dư khi chia P(x) cho (x - 2)(x -3) có dạng R(x) = ax + b

P(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + ax + b