1

MÃ KÍ HIỆU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2022-2023
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang

Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x  Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
1 1 1
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và x + y + z =
1
1
1


2
y2 z2
Tính giá trị của biểu thức P = x

3

Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, 3x  2 < 5x -4

x  43 x  46
x  49 x  52

57 + 54 = 51
48

b,
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3  9 với mọi n  N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
z


P= yz zx xy

Câu 5: (6đ)


Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại
D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ
dài đoạn BE theo m  AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác
BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
GB
HD

BC AH  HC

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
Câu 6: (2 đ)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

.

x6 + 3x2 + 1 = y3

2

---------------Hết---------------MÃ KÍ HIỆU

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN
HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2023
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu 1
(4
điểm).
a)

Đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1

1.0 đ

 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)

1.0 đ

Câu1
b)

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)331)+x4((x6)16-1)
+(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)

1.0 đ

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4
+ x2 + 1
 A chia hết cho x4 + x2 + 1

1.0 đ

Câu 2
(2
điểm)

Có

1 1 1 2
  )
x
( y z =
2

1
1
1
1
1
1
 2  2
  )
2
x
y
z + 2( xy xz yz

zyx
2 xyz

( 3) = p +
vậy
P+2=3
suy ra P = 1
Câu 3
(3
điểm)

Theo bài ra ta có :
4-5x < 3x +2< 5x - 4

0.75đ
0,75đ
0.5đ
1.0 đ

3

a)

Câu 3
b)

Giải các bất pt (1) và (2) sau
4-5x < 3x +2 (1)
3x +2< 5x – 4 (2)
Ta được nghiệm chung x > 3

0.5đ

b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung ta
được pt:

0,5 đ

1
1 1
1
 

(x+100)( 57 54 51 48 )

=0

1
1
1
1
 

( 57 54 51 48 )

 x + 100 = 0 vì
khác 0
 x = -100
Vậy S =  100
Câu 4: a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
(3 điểm)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
a)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

b)

0.5 đ
0.5đ
0,5 đ

Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự 0,5 đ
nhiên liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3  B chia hết cho 3  A =3B
chia hết cho 9
a+b+c
0.5đ
2

Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c
x+y+z =
 a b c
a  bc
a b c
 x=
2
2
; y = 2 ; z=
 a b c a  b c a b  c


2a
2b
2c
P=
=
1
b c
a c
a b
( 1    1    1   )
2
a a
b b
c c =
1
b a
c a
b c
3
( 3  (  )  (  )  (  ))
2
a b
a c
c b 2

Min P
Câu 5:

0.5 đ

3
=2

Hình vẽ

( Khi và chỉ khi a=b=c  x=y=z

0.5đ

0.5đ

0.5đ

4

(6 điểm)

+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
CD CA

CE CB

a)

dạng)

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng

0,25 đ
0,25 đ

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
0
Suy ra:  BEC= ADC 135 (vì tam giác AHD vuông 0,25 đ
cân tại H theo giả thiết).
0,5 đ
0
Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A.
0,25 đ
Suy ra: BE  AB 2 m 2
0,5 đ
b)

BM 1 BE 1 AD
 
 
BC 2 BC 2 AC

Ta có:
mà AD  AH

2

(do Δ BEC

~ Δ ADC

)
(tam giác AHD vuông vân tại H)

BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
 
 


BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE

nên
dạng
CBA)
Do đó
BHM đồng dạng
c)

0,5đ

(do ABH Đồng 1,0đ

BEC (c.g.c)

0
0
0,5đ
suy ra: BHM BEC 135  AHM 45
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là
phân giác góc BAC.

Suyra:

GB AB

GC AC

,

vì Δ ABC ~ Δ DEC nên

AB ED AH HD
=
=
=
AC DC HC HC

(DE//AH)

1,0đ
0,5đ

5
GB HD
GB
HD
GB
HD





GC HC
GB  GC HD  HC
BC AH  HC

Do đó:
Câu 6
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
6
2
(2 điểm) x +3x +1=y3
Ta có : x6 + 3x 2+ 1 = y3
 x6 +3 x4 + 3x 2+ 1 = y3 +3x4
(x2+1)3 - 3x4 = y3 ¿ (x2+1)3
Mà
y3 = x6+3x2+1 > x6 = (x2)3
Nên
Với x ≠ 0 ta có :
(x2)3 < y3 < (x2+1)3
 x2 < y3 < x2+1
phương trình vô nghiệm

0,5 đ

Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1
Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)

0,5 đ
0,5 đ



---------------Hết----------------

0,5 đ