Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

MỤC LỤC
§4 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.....................1
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức........................................................................................................................................1
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S.........................................................................................................................................3
Ⓒ. Trả lời ngắn...............................................................................................................................................12
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm..................................................................................................................................17

§4 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Zalo 0774860155

1

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Lý thuyết

❶. Phương trình dạng:
Để giải phương trình:
Ta làm như sau:
Bước ➀: Bình phương hai vế, rút gọn rồi giải phương
Bước ➁: Thử lại các giá trị tìm được có thỏa phương
Sau đó kết luận nghiệm
Hoặc
❷. Phương trình dạng:
Để giải phương trình:
Ta làm như sau:
Bước ➀: Bình phương hai vế, rút gọn rồi giải phương
Bước ➁: Thử lại các giá trị tìm được có thỏa phương
Sau đó kết luận nghiệm
Hoặc
Chú ý: Một số dạng phương trình chứa ẩn dưới
➀. Dạng:
➁. Dạng:
➂. Dạng: .

trình bậc 2 hoặc bậc nhất.
trình ban đầu hay không?

trình bậc 2 hoặc bậc nhất.
trình ban đầu hay không?
dấu căn khác

Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình
tương đương.
Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng: sau đó
bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm.
➃. Dạng:
Lập phương hai vế ta được: .

duonghungwordxinh
Sau đó thay thế: Zalo
vào phương
trình, ta được:
0774860155
2
Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại

nghiệm.

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Lý thuyết

Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S
Câu 1.

Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương 2 vế của phương trình ta được
b
)

Phương trình

có chung tập

nghiệm

c)
d

và phương trình

là nghiệm của phương trình (*)
Tập nghiệm của phương trình (*) là

)
Câu 2.

Cho phương trình

(*). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế của phương trình (*), ta được
b

là nghiệm của phương trình (*)

)
c)

Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng

Zalo 0774860155

3

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

d

❿-Cấu

Phương trình (*) có 1 nghiệm phân biệt

)
Câu 3.

Cho phương trình

(*). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

a)
b
)

đúng

Đúng Sai

.

Bình phương hai vế ta được

c)

Phương trình (*) có 2 nghiệm

d

Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0

)
Câu 4.

Cho phương trình

(*) . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương 2 vế phương trình ta được
b

Điều kiện của phương trình (*) là

)
c)

Phương trình (*) có 2 nghiệm

d

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình (*) bằng 20

)
Câu 5.

Cho phương trình

(*). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện:
b

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

)
c)

Các nghiệm của phương trình (*) nhỏ hơn 5

d

Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 2

)
Câu 6.

Cho phương trình

(*) .Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện:
b

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

Zalo 0774860155

4

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

)
c)
là nghiệm của phương trình (*)
d

Nghiệm của phương trình (*) nhỏ hơn 2

)
Câu 7.

Cho phương trình

(*). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện
b
)

Bình phương 2 vế phương trình (*) ta được

c)

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

d

Các nghiệm của phương trình (*) thuộc

)
Câu 8.

Cho phương trình

(*). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện:
b
)
c)
d
)

Bình phương 2 vế phương trình (*) ta được
Phương trình (*) có 1 nghiệm
Giả sử

Câu 9.

là nghiệm của phương trình (*) khi đó:

Cho 2 phương trình

và

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Mệnh đề

Đúng Sai

a) Phương trình (1) có 1 nghiệm
b

Phương trình (2) có 2 nghiệm

)
c)

Phương trình (1) và (2) có chung tập nghiệm

d

Tổng các nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng 6

)
Câu 10. Cho các phương trình sau

và

sau đúng hay sai?

Zalo 0774860155

5

duonghungwordxinh

. Các mệnh đề

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Mệnh đề

Đúng Sai

a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
b

Phương trình (2) có 1 nghiệm

)
c)
Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng
d
)

Tổng các nghiệm của phương trình (2) bằng

Câu 11. Cho các phương trình sau:

và

. Các mệnh đề sau đúng hay

sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
b

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

)
c)

Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng

d

Nghiệm của phương trình (2) nhỏ hơn

)
Câu 12. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện
b

Phương trình có 3 nghiệm

)
c)

Tổng các nghiệm của phương trình bằng 5

d

Các nghiệm của phương trình là các số chẵn

)

Câu 13. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện:
b

Phương trình có 3 nghiệm

)

Zalo 0774860155

6

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

c)

Các nghiệm của phương trình nhỏ hơn 2

d

Các nghiệm của phương trình là số lẻ

❿-Cấu

)
Câu 14. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:
b

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

)
c)

Nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là một số tự nhiên

d

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1) là một số nguyên âm

)
Câu 15. Cho phương trình

(2). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế phương trình (2), ta được:
b

Phương trình (2) có chung tập nghiệm với phương trình

)
c)

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

d

Các nghiệm của phương trình (2) nhỏ hơn

)
Câu 16. Cho phương trình

(3). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế phương trình (3), ta được:
b
)

Phương trình (3) có chung tập nghiệm với phương trình

c)

Phương trình (3) có một nghiệm

d

Phương trình (3) có các nghiệm là các số nguyên âm

)
Câu 17. Cho phương trình

(1). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế phương trình (1), ta được:

Zalo 0774860155

7

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

b

❿-Cấu

Phương trình (1) có một nghiệm

)
c)

Phương trình (1) có một nghiệm nhỏ hơn 3

d

Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng 6

)
Câu 18. Cho phương trình

(2). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế phương trình (2), ta được:
b

Phương trình (2) có chung tập nghiệm với phương trình

)
c)
Tổng các nghiệm của phương trình (2) bằng
d

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2) nhỏ hơn

)
Câu 19. Cho phương trình

(3). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Bình phương hai vế phương trình (3), ta được
b

Phương trình (3) có chung tập nghiệm với phương trình

)
c)

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

d

Tổng các nghiệm của phương trình (3) bằng

)
Câu 20. Cho phương trình

(1). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a)
Điều kiện
b

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

)
c)
d

Phương trình (1) có chung tập nghiệm với phương trình
Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng 11

)

Zalo 0774860155

8

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

Câu 21. Cho phương trình

❿-Cấu

(3). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a)
Điều kiện
b

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

)
c)

Tổng các nghiệm của phương trình (3) bằng 3

d

Các nghiệm của phương trình (3) là các số tự nhiên

)
Câu 22. Cho phương trình

(4). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a)
Điều kiện:
b

Phương trình (4) có 3 nghiệm phân biệt

)
c)

Phương trình (4) có nghiệm lớn nhất là một số tự nhiên

d

Tổng các nghiệm của phương trình (4) bằng

)

Câu 23. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)
c)
d
)

Phương trình

Đúng Sai

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Câu 24. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)

Phương trình
Phương trình

Đúng Sai

có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt

Zalo 0774860155

9

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

c)
d
)

Phương trình

❿-Cấu

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Câu 25. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)
c)
d
)

Phương trình

Đúng Sai

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

Câu 26. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)
c)
d
)

Phương trình

Đúng Sai

có 2 nghiệm

Phương trình

có 2 nghiệm

Phương trình

có 2 nghiệm

Phương trình

có 2 nghiệm

Câu 27. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

a)
b

Đúng Sai

là nghiệm của phương trình
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

)
c)

Tổng các nghiệm của phương trình bằng 9

d

Nghiệm lớn nhất của phương trình nhỏ hơn 2

)
Câu 28. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

a)

Đúng Sai

Điều kiện

Zalo 0774860155

10

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

b

❿-Cấu

là nghiệm của phương trình

)
c)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

d

Tổng các nghiệm của phương trình bằng

)
Câu 29. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện
b
)

Phương trình tương đương với phương trình

c)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

d

Tích các nghiệm của phương trình là một số dương

)
Câu 30. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a) Điều kiện
b
)

Phương trình tương đương với phương trình

c)

là nghiệm của phương trình

d

Tổng các nghiệm của phương trình bằng

)
Câu 31. Cho phương trình

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề

Đúng Sai

a)
Điều kiện:
b
)

Phương trình tương đương với phương trình

c)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt

d
)

Phương trình có một nghiệm dương lớn hơn

Zalo 0774860155

11

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Ⓒ. Trả lời ngắn

Câu 1.

Cho tam giác

vuông tại

có

(xem hình vẽ). Đặt

. Điểm

nằm trên tia

. Tính diện tích tam giác

sao cho
(làm tròn kết quả đến hàng

phân mười).

Trả lời: …………………………
Câu 2.

Lúc 8 giờ sáng, hai ô tô cùng xuất phát tại vị trí

. Vận tốc của hai ô tô chạy từ vị trí
tô đi từ vị trí
là

đến địa điểm

và vị trí

và vị trí

lân lượt là

cách thành phố

cách nhau
và

thì ô tô đi từ vị trí

chạy về thành phố
. Biết rằng tại thời điểm ô

đến địa điểm

cách thành phố

. Hỏi thời điểm đó là mấy giờ?

Trả lời: …………………………
Câu 3.

Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí

uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí

cách vị trí

khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí

, cách cửa hang của mình tại vị trí

là

để

để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau
như mọi ngày mà chạy đến vị trí

để tìm cà rốt rồi mới

trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí
đến vị trí
rồi về hang là
duonghungwordxinh
Zalo 0774860155
12

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn
thỏ chạy với vận tốc là

❿-Cấu

chú thỏ chạy với vận tốc là

. Tính khoảng cách giữa hai vị trí

và

, trên đoạn

.

Trả lời: …………………………
Câu 4.

Tìm tập nghiệm phương trình sau:

Trả lời: …………………………
Câu 5.

Tìm tập nghiệm phương trình sau:

.

Trả lời: …………………………
Câu 6.

Tìm tập nghiệm phương trình sau:

;

Trả lời: …………………………

Câu 7.

Tìm tập nghiệm phương trình sau:

.

Trả lời: …………………………
Câu 8.

Tìm tập nghiệm phương trình sau:

;

Trả lời: …………………………
Câu 9.

Tìm tập nghiệm phương trình sau:

Trả lời: …………………………
Câu 10. Tìm tập nghiệm phương trình sau:
Trả lời: …………………………
Câu 11. Tìm tập nghiệm phương trình sau:

.

Trả lời: …………………………

Zalo 0774860155

13

duonghungwordxinh

chú

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Câu 12. Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một
thanh đỡ

có chiều dài bằng

cách vị trí

bao nhiêu mét?

, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài

. Hỏi vị trí

Trả lời: …………………………
Câu 13. Tìm tập nghiệm phương trình sau:

;

Trả lời: …………………………
Câu 14. Tìm tập nghiệm phương trình sau:

.

Trả lời: …………………………
Câu 15. Tìm tập nghiệm phương trình sau:

;

Trả lời: …………………………
Câu 16. Tìm tập nghiệm phương trình sau:

.

Trả lời: …………………………
Câu 17. Xét nửa đường tròn đường kính

. Xét điểm

nửa đường tròn và hình chiếu của

là điểm

nửa đường tròn. Tìm độ dài

trên đoạn

biết rằng chu vi hình chữ nhật

Zalo 0774860155

14

(không trùng hai điểm
, vẽ hình chữ nhật

) di động trên
với

bằng 22 .

duonghungwordxinh

cũng thuộc

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Trả lời: …………………………
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình sau có nghiệm

.

Trả lời: …………………………
Câu 19. Cho tam giác

có cạnh

, góc

bằng

. Trên cạnh

ta lấy điểm

sao cho

(như hình vẽ).

Tính độ dài đoạn thẳng

biết rằng

(đáp số gần đúng đến hàng phần trăm) .

Trả lời: …………………………
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

có nghiệm.

Trả lời: …………………………
Câu 21. Cho phương trình

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

sao cho phương trình

đã cho có nghiệm.
Trả lời: …………………………
Câu 22. Ông An muốn làm cái cửa bằng nhôm có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình
chữ nhật như hình vẽ. Biết rằng đường kính của nửa hình nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật

Zalo 0774860155

15

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 5,2 mét; diện tích của nửa hình tròn bằng

diện tích của phần

hình chữ nhật.

Tính số tiền ông An phải trả cho biết

cửa có giá 1300000 đồng (kết quả lấy gần đúng đến hàng phần mười).

Trả lời: …………………………
Câu 23. Tìm điều kiện của tham số

để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

.
Trả lời: …………………………
Câu 24. Tìm

để phương trình

có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời: …………………………
Câu 25. Tìm điều kiện của

để phương trình

có 2 nghiệm thực phân biệt.

Trả lời: …………………………
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình:

có đúng một nghiệm.

Trả lời: …………………………
Câu 27. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí
cái kho ở vị trí

cách

cách bờ biển một khoảng cách .

một khoảng là

. Trên bờ biển có một

.

Để nhận lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy từ
trên bờ biển với vận tốc

rồi đi xe gắn máy đến

Zalo 0774860155

16

với vận tốc

đến bến tàu

(xem hình vẽ).

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

Tính tổng quảng đường người đó phải đi biết rằng thời gian đi từ

❿-Cấu

đến

là 1h14 phút.

Trả lời: …………………………
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là

.

C.

.

D.

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

là

. C.

. D.

.

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

Câu 4: Tập nghiệm
A.

C.

.

D.

.

của phương trình và

.

là

B.

Câu 5: Cho phương trình

A.

B.

C.

D.

Câu 6: Tập nghiệm

.

là

.

B.

C.

D.

.

D.

.

(1). Mệnh đề nào sau đây đúng?

của phương trình

A.

C.

Zalo 0774860155

là

17

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

Câu 7: Tập nghiệm
A.

.

của phương trình
B.

.

là

C.

.

Câu 8: Giải phương trình
A.

.

B.

.

D.

.

.
.

C.

Câu 9: Giải phương trình
A.

❿-Cấu

.

D.

.

ta có tập nghiệm

B.

.

C.

.

là

D.

.

Câu 10: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A.

.

B. .

C.

?

.

D. Vô số.

Câu 11: Số nghiệm của phương trình
A.

.

B. .

là
C.

.

D.

Câu 12: Nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

.

bằng
C.

và

.

D.

.

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

là

C.

.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình
A.

.

B. .

D.

.

là
C.

.

D.

.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

C.

là
.

D.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

.

là
C. .

Zalo 0774860155

D.
18

.

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

❿-Cấu

Câu 17: Số nghiệm của phương trình sau
A.

.

B. .

C.

là
.

D.

Câu 18: Phương trình
A. 2.

.

có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
B. 1.

C. 3.

D. 4.

Câu 19: Số nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

là
C. .

Câu 20: Phương trình
A.

.

.

có bao nhiêu nghiệm?
B.

.

C.

Câu 21: Tập nghiệm

của phương trình

A.

B.

.

D.

.

.

D. .
là

C.

.

D.

.

Câu 22: Tổng các nghiệm của phương trình:
A.

.

B. .

C.

.

Câu 23: Phương trình
A. 2.

D.

C. 3.

Câu 24: Phương trình

D. 4.

có tất cả bao nhiêu nghiệm?
B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 25: Nghiệm của phương trình

A.

.

.

có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
B. 1.

A. 0.

bằng

B.

là

.

Zalo 0774860155

19

duonghungwordxinh

Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán
trúc mới!

C.

.

D.

và

Zalo 0774860155

❿-Cấu

.

20

duonghungwordxinh