UBND XÃ KRÔNG NÔ
TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH
MÃ ĐỀ MT105

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2
MÔN: TOÁN – LỚP 9
NĂM HỌC: 2025 - 2026
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bảng trả lời.
Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
A

.

Câu 2. Cho hàm số

B.

.
với

C.

.

Giá trị của tham số

D.

.

để đồ thì hàm số đã cho đi qua điểm

là
A.
B.
C.
Câu 3. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?

D.

A.
B.
C.
D.
Câu 4. Hai số có tổng bằng 23 và tích của chúng bằng 120 là nghiệm của phương trình nào?
A.
.
B.
C.
Câu 5. Biểu đồ tần số dạng cột là
A. biểu đồ đoạn thẳng với trục ngang biểu diễn tần số.
B. biểu đồ cột với trục ngang biểu diễn tần số.
C. biểu đồ đoạn thẳng với trục đứng biểu diễn tần số.
D. biểu đồ cột với trục đứng biểu diễn tần số.
Câu 6. Gieo một con xúc xắc 45 lần cho kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện
Tần số
Tần số xuất hiện của mặt chấm là
A. 7.
B. 8.
C. 9.
Câu 7. Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán
(thang điểm 20) của 50 học sinh, kết quả được
cho bởi biểu đồ sau. Tần số của nhóm thí sinh
có điểm thi thấp nhất là
A. 1.
B. 3.
C. 5.
D. 18.

.

D.

.

D. 10.

Câu 8. Thống kê thời gian của 78 chương trình quảng cáo trên Đài truyền hình tỉnh X có 38 chương trình
quảng cáo từ 10 đến 17 giây. Xác suất thực nghiệm của biến cố trên là
A.
.
B.
.
Câu 9. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là
A. góc vuông.
B. góc nhọn.

C.

.

C. góc bẹt.

D.

.

D. góc tù.

Câu 10. Trong các hình dưới đây, đường tròn

ở hình nào là đường tròn nội tiếp tam giác

A. Hình a.
B. Hình b.
C. Hình c.
Câu 11. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. Mọi tứ giác luôn nội tiếp đường tròn.

D. Hình d.

B. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng

.

C. Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng
D. Tất cả các hình thang đều là tứ giác nội tiếp.

.

Câu 12. Cho tam giác

. Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều

. Phép quay tâm
A.

vuông tại
góc

và góc tại

biến

bằng

thành

.

B.

với K là trung điểm của

C.
với là trung điểm của 
.
D.
với là trung điểm của
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Trong câu 13 và câu 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

.
.

Câu 13. Cho phương trình
.
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
b) Phương trình luôn có hai nghiệm

với mọi

c) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình lần lượt là
d) Không có giá trị của
để phương trình có hai nghiệm
thoả mãn
Câu 14. Một chi tiết xây dựng bằng bê tông có kích thước như hình vẽ bên, gồm:
− Phía trên là một hình trụ có chiều cao

đường kính đáy

− Phía dưới là nửa hình cầu có đường kính
Mỗi xe trộn bê tông cung cấp được
bê tông. Một công trình xây dựng cần sử dụng
40 chi tiết như ở câu a thì cần ít nhất bao nhiêu xe để đáp ứng được nhu cầu?
a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy

được tính bằng công thức:

b) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là
c) Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là:
d) Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết xây dựng bằng bê
tông như ở hình trên thì cần ít nhất 2 xe để đáp ứng được nhu cầu.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Trong mỗi câu hỏi từ câu 15 đến câu 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải
chi tiết.

Câu 15. Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất

sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi

ngày phân xưởng đó vượt mức
sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian
quy định là ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Câu 16. Tập hợp
gồm các số có ba chữ số, trong đó có 15 số nguyên tố. Bạn An chọn ngẫu nhiên một số
từ tập hợp
Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số là hợp số” là
Hỏi tập hợp
có bao nhiêu
phần tử?
Câu 17. Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính
Tính diện tích hình vuông đó.
Câu 18. Một chiếc nón ông già Noel thường gồm có ba phần: Hình trụ để làm
đế nón, phần mũ chính là hình nón, trên đỉnh nón là quả bóng trắng có hình cầu
và có các kích thước tương ứng như hình vẽ. Tính tổng diện tích phần vải để
may nón, biết rằng chiều cao của đế nón bằng đường kính của quả bóng (kết
quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).

Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.
a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó
đúng hay sai? Tại sao?
2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
hai thẻ khác
nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tìm số phần tử của tập hợp C gồm các kết
quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố “Số xuất
hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.
Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường tròn
. Lấy một điểm
tiếp điểm). Gọi

trên tia đối của tia

trên

kẻ hai tiếp tuyến

cắt đường tròn tại hai điểm
với đường tròn

là hai

cùng nằm trên một đường tròn.

cắt đường tròn tại

c) Đường thẳng qua
điểm

không đi qua

là trung điểm của

a) Chứng minh rằng
b) Đoạn

và đường thẳng

Chứng minh rằng

vuông góc với

sao cho diện tích tam giác

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

cắt các tia
nhỏ nhất.

theo thứ tự tại

Tìm vị trí của

-----HẾT-----

TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH
Họ và tên:............................................
Lớp : ...................................................

Chữ ký Giám thị

KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn : Toán
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Điểm bài thi

Chữ ký Giám khảo

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. Trắc nghiệm 4 lựa chọn (3 điểm) Điền chữ cái trước đáp án được chọn vào ô tương ứng
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp
án
2. Trắc nghiệm đúng sai (2 điểm) Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô tương ứng với ý trong câu hỏi
Câu
Câu 13
Câu 14
Ý
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Đ-S
3. Trả lời ngắn (2 điểm) Điền câu trả lời vào dấu (…)
Câu 15
Câu 16
B. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 17

Câu 18

ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 105
KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2 – TOÁN 9 – KẾT NỐI TRI THỨC
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Bảng đáp án trắc nghiệm:
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
C
B
D
A
D
C
B
B
Câu
13a 13b 13c 13d 14a 14b 14c 14d
Đáp án
Đ
Đ
S
S
Đ
S
S
Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

9
A
15
215

10
D
16
50

11
C
17
18

12
B
18
4678

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
A
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số

B.

.

có hệ số

C.

.

D.

.

nên hàm số đồng biến.

Câu 2. Cho hàm số

với

Giá trị của tham số

để đồ thì hàm số đã cho đi qua điểm

là
A.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

B.

C.

Hàm số

có đồ thị đi qua điểm

D.

nên ta có:

Vậy để đồ thị hàm số
đi qua điểm
thì
Câu 3. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D

B.

C.

D.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
cho trước gọi là hệ số và

trong đó

là ẩn;

.

Do đó, phương trình
là phương trình bậc hai một ẩn.
Câu 4. Hai số có tổng bằng 23 và tích của chúng bằng 120 là nghiệm của phương trình nào?
A.

.

B.

.

C.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A

D.

.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình

.

là những số

Câu 5. Biểu đồ tần số dạng cột là
A. biểu đồ đoạn thẳng với trục ngang biểu diễn tần số.
B. biểu đồ cột với trục ngang biểu diễn tần số.
C. biểu đồ đoạn thẳng với trục đứng biểu diễn tần số.
D. biểu đồ cột với trục đứng biểu diễn tần số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biểu đồ tần số dạng cột chính là biểu đồ cột với trục đứng biểu diễn tần số.
Do đó ta chọn phương án D.
Câu 6. Gieo một con xúc xắc 45 lần cho kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện
Tần số
Tần số xuất hiện của mặt chấm là
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có
Do đó
nên
.
Vậy tần số xuất hiện của mặt hai chấm là 9.
Câu 7. Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20) của 50 học sinh, kết quả được cho bởi
biểu đồ sau:
Điểm số kỳ thi học sinh giỏi môn Toán

Tần số

20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

18
15

8
5
3
1
8

10

12

14

16

18

20

Điểm số

Tần số của nhóm thí sinh có điểm thi thấp nhất là
A. 1.
B. 3.
C. 5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

D. 18.

Quan sát biểu đồ, ta thấy nhóm thí sinh có điểm thi thấp nhất là
có tần số là 3.
Do đó ta chọn phương án B.
Câu 8. Thống kê thời gian của 78 chương trình quảng cáo trên Đài truyền hình tỉnh X có 38 chương trình
quảng cáo từ 10 đến 17 giây. Xác suất thực nghiệm của biến cố trên là
A.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

B.

.

C.

.

D.

.

Xác suất thực nghiệm của biến cố trên là
.
Câu 9. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là
A. góc vuông.
B. góc nhọn.
C. góc bẹt.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Câu 10. Trong các hình dưới đây, đường tròn

A. Hình a.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D

B. Hình b.

⦁ Ở Hình a, đường tròn

ở hình nào là đường tròn nội tiếp tam giác

C. Hình c.

D. Hình d.

là đường tròn ngoại tiếp tam giác

của tam giác
không đi qua đỉnh

D. góc tù.

Do đó, đường tròn

vì đường tròn

đi qua cả ba đỉnh

không là đường tròn ngoại tiếp tam giác

vì nó

của tam giác

⦁ Ở Hình b, đường tròn

không là đường tròn ngoại tiếp tam giác

vì nó không đi qua đỉnh C của

không là đường tròn nội tiếp tam giác

vì nó không tiếp xúc với cạnh

tam giác
⦁ Ở Hình c, đường tròn
⦁ Ở Hình d, đường tròn

là đường tròn nội tiếp tam giác

vì nó tiếp xúc với ba cạnh

của tam giác
Câu 11. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. Mọi tứ giác luôn nội tiếp đường tròn.
B. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng
C. Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng
D. Tất cả các hình thang đều là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

.
.

Phát biểu “Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng
giác nội tiếp.
Câu 12. Cho tam giác
. Phép quay tâm
A.

vuông tại
góc

biến

.

C.
với là trung điểm của 
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

và góc tại

. Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều

thành
B.

.

bằng

đây là dấu hiệu nhận biết của tứ

D.

với K là trung điểm của
với

là trung điểm của

.
.

Từ giả thiết suy ra
Xép phép quay tâm
Biến

thành

là tam giác vuông có góc
góc quay

; biến

thành

nên

.

ta có:
.

Vậy phép quay tâm
góc
biến
thành
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)

.

Câu 13. Cho phương trình
.
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
b) Phương trình luôn có hai nghiệm

với mọi

c) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình lần lượt là
d) Không có giá trị của
để phương trình có hai nghiệm
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai.
d) Sai.
Xét phương trình

với

⦁ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn

là tham số.
có

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình có biệt thức
với mọi

thoả mãn

nên phương trình luôn có nghiệm

Do đó ý b) là đúng.

⦁ Theo định lí Viète, ta có:

Do đó ý c) là sai.

⦁ Ta có

.
Phương trình này có tổng các hệ số

nên phương trình này có các nghiệm

.
Vậy có hai giá trị cần tìm của
là
. Do đó ý d) là sai.
Câu 14. Một chi tiết xây dựng bằng bê tông có kích thước như hình vẽ bên, gồm:
− Phía trên là một hình trụ có chiều cao

đường kính đáy

− Phía dưới là nửa hình cầu có đường kính
Mỗi xe trộn bê tông cung cấp được
bê tông. Một công trình xây dựng cần
sử dụng 40 chi tiết như ở câu a thì cần ít nhất bao nhiêu xe để đáp ứng được nhu
cầu?

a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy

được tính bằng công thức:

b) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là
c) Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là:
d) Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông như ở hình trên thì cần ít nhất
2 xe để đáp ứng được nhu cầu.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
⦁ Thể tích hình cầu có bán kính đáy
Do đó ý a) là đúng.

được tính bằng công thức:

⦁ Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là:

Do đó ý b) là sai.

⦁ Thể tích của hình trụ là:
Vì bán kính của đường tròn đáy hình trụ cũng chính là bán kính của hình cầu nên thể tích của nửa hình cầu
là:

Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là:
Do đó ý c) là sai.
⦁ Thể tích của 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông là:
Số lượng ít nhất để đáp ứng được nhu cầu là:
(xe).
Vậy cần ít nhất 3 xe để đáp ứng được nhu cầu. Do đó ý d) là đúng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Câu 15. Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất

sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi

ngày phân xưởng đó vượt mức
sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian
quy định là ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 215.
Gọi số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là
Thời gian sản xuất theo kế hoạch là

(sản phẩm)

(ngày)

Thực tế mỗi ngày phân xưởng sản được số sản phẩm là:

(sản phẩm)

.

Thời gian sản xuất thực tế là
(ngày)
Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình:

(TMĐK) và

(loại).

Vậy số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là
sản phẩm.
Câu 16. Tập hợp
gồm các số có ba chữ số, trong đó có 15 số nguyên tố. Bạn An chọn ngẫu nhiên một số
từ tập hợp
Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số là hợp số” là
phần tử?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 50.
Vì xác suất của biến cố “Chọn được số là hợp số” là
nguyên tố” là:

Số phần tử trong tập hợp
là:
(phần tử).
Vậy tập hợp
có 50 phần tử.
Câu 17. Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông
nội tiếp một đường tròn bán kính
Tính diện tích hình vuông
đó.
Hướng dẫn giải
Đáp số: 18.
Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông suy ra độ dài đường chéo hình
vuông là đường kính của hình tròn.

Độ dài cạnh hình vuông là: 
Diện tích hình vuông là: 
Vậy diện tích hình vuông là

có bao nhiêu

nên xác suất của biến cố “Chọn được số là số

.

Độ dài của đường chéo hình vuông là:

Hỏi tập hợp

Câu 18. Một chiếc nón ông già Noel thường gồm có ba phần:
Hình trụ để làm đế nón, phần mũ chính là hình nón, trên đỉnh nón
là quả bóng trắng có hình cầu và có các kích thước tương ứng như
hình vẽ. Tính tổng diện tích phần vải để may nón, biết rằng chiều
cao của đế nón bằng đường kính của quả bóng (kết quả làm tròn
đến hàng đơn vị với đơn vị
Hướng dẫn giải
Đáp số: 4678.

Diện tích vải để làm quả bóng trắng có hình cầu là:
Diện tích vải để làm đế nón hình trụ là:
Độ dài cạnh

là:

Độ dài cạnh

là:

Diện tích phần vải để làm phần mũ hình nón là:
Tổng diện tích phần vải để may nón:
.
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).

Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.
a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó
đúng hay sai? Tại sao?
2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
hai thẻ khác
nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tìm số phần tử của tập hợp C gồm các kết
quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố “Số xuất
hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.
Hướng dẫn giải
1. a) Từ biểu đồ trên, ta có bảng tần số ghép nhóm tương ứng như sau:
Cân nặng (kg)

 35; 40 

 40; 45 

 45;50 

 50;55

 55; 60 

 60;65

5%

Tần số tương đối

37,5%

10%

27,5%

15%

5%

b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng
hay sai? Tại sao?
Vì có có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg. nên số học sinh của lớp đó là:
11: 27,5% 40 (học sinh).

 55;60  là
Số học sinh từ
 60;65  là
Số học sinh

(học sinh).

(học sinh).
Tổng số học sinh từ 50 kg trở lên là 11  6  2 19 (học sinh).
Vậy nhận định đó là sai.
2. Không gian mẫu của phép thử là

.

Do đó
.
Gọi
là biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.
Ta có

nên

Xác suất của biến cố

.

là

.

Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường tròn
. Lấy một điểm
tiếp điểm). Gọi

trên tia đối của tia

không đi qua

kẻ hai tiếp tuyến

b) Đoạn

với đường tròn

cắt đường tròn tại

điểm
trên
Hướng dẫn giải

Chứng minh rằng

vuông góc với

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

cắt các tia

sao cho diện tích tam giác

theo thứ tự tại

P
C

là hai tiếp điểm) nên
Suy ra

nên

đường tròn đường kính
Vì
là trung điểm của

Vậy

thuộc

O

.

I

và

là dây của

A

M

.
nên

thuộc đường tròn đường kính

là tiếp tuyến của

B

H
D

cùng nằm trên đường tròn đường kính

b) Vì

Tìm vị trí của

nhỏ nhất.

là tiếp tuyến của

Suy ra

và

.
.

là hai tiếp điểm) nên

là tia phân giác của

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn
(tam giác

cân tại

.

d

Q

là tia phân giác của
Mặt khác,

là hai

cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng qua

nên

cắt đường tròn tại hai điểm

là trung điểm của

a) Chứng minh rằng

a) Vì

và đường thẳng

).

và

Suy ra
Ta có

nên

là tia phân giác của

.

là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác

nên

là tâm đường tròn nội tiếp tam

giác
c) Ta có

.

Mà
Dấu

nên
xảy ra khi

Vậy để diện tích tam giác

hay
nhỏ nhất thì

.
.
là giao điểm của
-----HẾT-----

và đường thẳng