ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II
A. PHẠM VI KIẾN THỨC ÔN TẬP
I. Đại số
1. Tỉ lệ thức.
2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
3. Đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
4. Biểu thức đại số.
5. Đa thức một biến.
6. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến.
7. Phép nhân, phép chia đa thức một biến.
8. Làm quen với biến cố, xác suất của biến cố.
II. Hình học
1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
4. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam
giác
5. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
6. Hình hộp chữ nhật và hình lập phương
7. Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. TRẮC NGHIỆM

1

Câu 1. Biểu thức nào sau đây không là đơn thức?

 1 2 
A.  2 x : 3x

Câu 2. Từ tỉ lệ thức

2

C. 1083

B. x.4x
ac

b d

D.

1 4
x 1
3

 a,b,c,d  0 , ta suy ra:

adcaabcb
B. 
C. 
D. 
 .
c b
b d
c d
a d
Câu 3. Cho y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, biết rằng khi x  3 thì y  2 .
A.

Công thức liên hệ giữa y và x là:
A. y 

2
x
3

B. y 

6
x

C. y  6 x

D. y 

6
x

Câu 4. Biết rằng x : y  3 : 2 và 4 x  y  20 . Giá trị của x và y bằng:
A. x  12; y  8

B. x  6; y  4.

C. x  8; y  12.

D. x  4; y  6.

1 4
3
Câu 5. Đa thức Q   x  5x  8x  9 có hệ số bậc cao nhất là:
3
A. 8

B. 9

C. 
4

Câu 6. Tổng của hai đơn thức 3x và 

A.

7 4
x
3333

B.

7

x

3

2

1

D. 5

3

4

3

x là:

C.

11

x

4

D.

4

x

4

Câu 7. Biểu thức đại số biểu thị chu vi của hình chữ nhật có chiều dài là a, chiều
rộng là b như sau:
A. a  b  2

B. a  b

C. a b 2

D.  a  b   2

Câu 8. Đa thức M(x)  4x8 có nghiệm là:
A.

2

B.

1
2

C.

2

2

D.

1
2

Câu 9. Gieo một con xúc xắc. Xét các biến cố sau:
A: “Số chấm xuất hiện là số lẻ:.
B: “Số chấm xuất hiện lớn hơn 2”.
C: “Số chấm xuất hiện là số nguyên tố”.
D: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7”
Có bao nhiêu biến cố chắc chắn trong các biến cố trên?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3

5 3
Câu 10. Giá trị của đa thức 2 x  4x  7 tại x  4 là:
A. 137

B. 31

C. 151

D. 169

1 4
?
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn x  37
A. 0

B. 1

C. 2

D. Đáp án khác

Bài 12. Biểu thức tính tổng quãng đường đi được của một người, biết rằng người
đó đi xe đạp trong x giờ với vận tốc 12 km / h và sau đó đi bằng ô tô trong y giờ
với vận tốc 50 km / h là:
A. 5 0 y

B. 12 y  50 x

C. 12x

D. 12 x  50 y

Câu 13. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của:
A. ba đường phân giác

B. ba đường trung tuyến

C. ba đường cao

D. ba đường trung trực

  70  , N
  50 . So sánh các cạnh của tam giác
Câu 14. Cho tam giác MNP có M

MNP , ta có:
A. N P  M P M N .

B. N P  M N M P.

C. M N  N P M P.

D. M P  M N N P.

Câu 15. Độ dài hai cạnh của một tam giác là 3 cm và 6 cm . Trong các số đo sau,
số đo nào sau đây là độ dài cạnh thứ ba của tam giác?

3

A. 4 cm

B. 2 cm

C. 9 cm

D. 12 cm

Câu 16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Khi đó:
A. AG 

2
3

AM

1
B. AG  GM
2

C. AG 

1
3

AM

D. AG  3GM

Câu 17. Tam giác DGC có D G  3 cm ; D C  2 cm ; GC  4 cm . Khẳng định nào
dưới đây là đúng?

 C
A. G

 lớn nhất
B. C

 G
C. D

 C
D. D

Câu 18. Cho tam giác cân có độ dài cạnh bên là 7 cm và cạnh đáy là 3 cm. Chu vi
của tam giác đó là:
A. 17 cm

B. 13 cm

C. 10 cm

D. 21 cm
3

Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác biết chiều cao 7 cm và thể tích 84 cm .
Diện tích mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
A. 588 cm

2

2

B. 12 cm

C. 588 cm

D. 12 cm

Câu 20. Thùng xe chở hàng có dạng hình hộp chữ nhật dài 3 m, rộng 1,8 m, cao
1, 5 m. Hỏi thể tích thùng xe là bao nhiêu?

A. 12,6 cm

3

B. 6,3 cm

3

C. 8,1 cm

3

D. 13,8 cm

3

II. TỰ LUẬN
A. Bài tập cơ bản
ĐẠI SỐ
1. Dạng 1. Tỉ lệ thức – Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Bài 1. Từ các tỉ số sau đây có lập được tỉ lệ thức hay không?
a) (0,5): 3,5 và 1, 54 :  10,78 

b) 4,86 :  11,34  và  9,3  : 21, 6

21911
: 4 và
:
d) 2 : 7 và 3 : 13
9
16 8
3
4
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x, trong các tỉ lệ thức sau
c)

4

Bài 3. Tìm x , y biết:
a)
c)

x
2
x



y
5



và x  y  14.
y

b)

và 4 x  3 y  9

d)

2 3
Bài 4. Tìm x, y, z biết:
a)

xz y
  và x  y  z  56
2 5 7

x
7
x
4




y
3
y

b)

5

và x  y  24
và 2 x  5 y  165

xz
1,1



y
1,3



1,4

và 2x  y  5,5

Bài 5. Tính diện tích của hình chữ nhật, biết tỉ số giữa các cạnh 0,6 và chu vi
bằng 32 cm.
Bài 6. Số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 lần lượt tỉ lệ với 2 : 4 : 5 . Tính
số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết số học sinh khá nhiều hơn số học sinh giỏi
là 30 học sinh.
2. Dạng 2. Đại lượng tỉ lệ thuận. Đại lượng tỉ lệ nghịch.
Bài 7. Cho x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, điền vào ô trống các số thích hợp.
x
y

2

3,5

1
3

9

10

5

5

19
4

Bài 8. Biết 2 đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau khi x  6 thì y  8
a) Tìm hệ số tỷ lệ k của y đối với x.
b) Viết công thức biểu diễn y theo x.
Bài 9. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x  4 thì y  18 .
a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x.
b) Hãy biểu diễn y theo x .
c) Tính giá trị của y khi x  8; x  20.
3. Dạng 3. Biểu thức đại số  Đa thức một biến
Bài 10.
a) Viết biểu thức biểu thị diện tích của các hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều
rộng 4 cm.
b) Viết biểu thức đại số biểu thị số tiền mà Minh mua 5 quyển vở giá a đồng một
quyển; 3 cái bút giá b đồng một cái và 2 cái thước kẻ giá c đồng một cái.
c) Viết biểu thức biểu thị quãng đường đi được của một người. Biết người đó đi

24 phút từ nhà đến bến xe buýt với vận tốc x  km / h  rồi lên xe buýt đi 20 phút

nữa thì tới nơi làm việc. Vận tốc của xe buýt là y  km / h
Bài 11. Tính giá trị của các biểu thức sau.
3

a) A  x  2x 
b) B 

1
4

12
2

tại x  1; x  3; x 

3

.

2
2
x y  3y  x tại x  1; y  2.

Bài 12. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
3

a) P(x)  2x 

13
3
2
x  2x  x  5x  1.
2
4

3
2
2
b) Q(x)  x  4  6x  3x  .
5
3

2

2

c) N(x)  x  x  2x  3x  5x  2.
6

5131
3
2
4
3
2
x  x  7x  x  x  1.
4
3
2
3

d) H(x) 

3

4

2

4

2

3

4

3

Bài 13. Cho đa thức: P(x)  7x  3x  x  4x  5x  6x  2x  2017  x .
a) Chỉ ra bậc của P(x).
b) Viết các hệ số của P(x). Nêu rõ hệ số cao nhất và hệ số tự do.
Bài 14. Tìm bậc của mỗi đa thức sau:
5

a) A  3x 

2514
5
4
5
x  x x  x
5
2
2

2

b) B  mx  3  5x  7  9x ( a là hằng số)
3

3

c) C  tx  4x  x  5 ( m là hằng số)
Bài 15. Cuối năm Nam nhận được phần thưởng là 100 nghìn đồng. Nam dùng số
tiền này để mua 1 cuốn sách giáo khoa hết 18 nghìn đồng; mua một bộ thước hết
12 nghìn đồng và mua một cuốn truyện với giá x nghìn đồng.
a) Hãy tìm đa thức biểu thị số tiền còn lại của Nam (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc
của đa thức đó.
b) Nếu sau khi mua, Nam còn lại 25 nghìn đồng thì hỏi giá tiền cuốn truyện là
bao nhiêu?
4. Dạng 4. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
4

3

2

Bài 16. Cho hai đa thức: P(x)  2x  2x  3x  x  6
4

3

Q(x)  3x  x 

1
2

2

x  3x  4

Tính P(x)  Q(x); P(x)  Q(x).
Bài 17. Cho hai đa thức A  x   3  x  x  3x  x
3

2

2

4

3

B(x)  3x  3x  x  2
a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính A(x)  B(x) và A(x)  B(x) .
Bài 18. Cho các đa thức:
7

2

2

3

3

2

3

P(x)  5x  1  3x  x  5x và Q(x)  2  3x  6x  5x  2x  x.
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức P  x , Q(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính H(x)  P(x)  Q(x), T(x)  P(x)  Q(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức T(x).
d) Tìm đa thức G(x) biết G(x)  Q(x)  P(x) .
Bài 19. Cho hai đa thức:
4

3

4

2

3

2

f (x)  x  x  4x  x  3x  7 và g(x)  3x  x  8x  3x  14.
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức f (x) và g(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tìm đa thức: h(x)  f (x)  g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
Bài 20. Cho các đa thức:
2

4

4

3

P(x)  3x  4x  5x  9  6x  2x  5
Q

3

4

3

(x)  3x  x  x  3  x  4x  2x

2

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến;
b) Tính N(x)  P(x)  Q(x);
c) Chứng minh N(x) luôn dương với mọi giá trị x.
5. Dạng 5. Phép nhân và phép chia đa thức một biến
Bài 21. Thực hiện phép tính:
a)

4

2
A  3x 1  x  3x
5



c) C   x 1 x  x
e)



5

2

7



b) B   x  4  2x  x  3





E  3x  2x  4x

4

2

3

d ) D  12x  6x  4x
4

 : 6x

3

f)

Bài 22. Rút gọn các biểu thức sau:
8

2



 : 2x 
2

2 5 1 3 7   1 
F   x  x  x :  x
51555



6. Dạng 6. Làm quen với biến cố, xác suất của biến cố.
Bài 25. Một hộp có 8 tấm thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số từ 1
đến 8. Rút ngẫu nhiên từ hộp ra một tấm thẻ.
a) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với số trên thẻ được rút ra.
b) Xét biến cố A: “Số ghi trên thẻ được rút ra là số lẻ”. Viết tập hợp các kết quả có
thể xảy ra đối với biến cố A.
Bài 26. Quay vòng quay như hình bên một lần.
a) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố M: “Mũi

20

tên chỉ vào ô ghi số chẵn”.

2
3

19

b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố N: “Mũi

18

tên chỉ vào ô ghi số nguyên tố”.
c) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố H: “Mũi
tên chỉ vào ô ghi số chia hết cho 3”.

5
15

6
13

d) Các biến cố M và N có là đồng khả năng không?
Bài 27. Chọn ngẫu nhiên một chữ cái có trong từ
“FRIEND”
a) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với chữ cái được chọn.
9

9

b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Chữ cái được chọn là phụ âm”.
Câu 28. Trong một câu lạc bộ về môi trường ở trường THCS Ban Mai có 30 bạn
nam và 30 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Xét hai biến cố sau:
A: “Bạn được chọn là nam” và B: “Bạn được chọn là nữ”.
a) Hai biến cố A và B có đồng khả n không? Vì sao?
b) Tìm xác suất của biến cố A và B.
Bài 29. Trong thùng rút thăm có 15 phiếu được đánh số 3; 4;...;17 , rút ngẫu nhiên
một tăm. Tính xác suất của biến cố A: “Thăm được rút là số chia hết cho 5”.
Bài 30. Gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần. Tính xác suất các biến cố.
a) A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số nguyên tố”.
b) B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ”.
HÌNH HỌC
Bài 31. Cho tam giác ABC có CA  CB. Kẻ CI vuông góc với AB ( I thuộc AB).
a) Chứng minh rằng IA  IB .
b) Kẻ IH vuông góc với AC (H thuộc AC), kẻ IK vuông góc với BC (K thuộc
BC). So sánh các độ dài IH và IK.
Bài 32. Cho tam giác ABC vuông ở C, có góc A bằng 60. Tia phân giác của góc
BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB (K thuộc AB). Kẻ BD vuông góc

với tia AE (D thuộc tia AE). Chứng minh:
a) AC  AK và AE vuông góc CK.
b) KA  KC
c) EB  AC
d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm.
Bài 33. Cho ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE  BC

F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng:
a) BD là trung trực của AE.
10

 E BC . Gọi

b) DF  DC.
c) AD  DC.
d) AE / /FC.
Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 60. Vẽ AH vuông
góc với BC,

H  BC .

a) So sánh AB và AC, BH và HC .
b) Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD  HA. Chứng minh rằng hai
tam giác AHC và DHC bằng nhau.
c) Tính số đo của góc BDC.
Bài 35. Cho ABC có AC  AB , trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho MD  MA . Nối C với D.
  DAC.
 Từ đó suy ra: MAB
  MAC.

a) Chứng minh ADC
b) Kẻ đường cao AH. Gọi E là một điểm nằm giữa A và H. So sánh HC và

HB, EC và EB.
  90 , BD là phân giác của góc B  D  AC . Trên tia BC
Bài 36. Cho ABC có A
lấy điểm E, sao cho BA  BE.
a) Chứng minh DE  BE
b) Chứng minh BD là trung trực của AE.
c) Kẻ AH  BC. So sánh EH và EC.
Bài 37. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
Kẻ DH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia DH lấy điểm K sao cho
DK  DC.

a) Chứng minh ABD  HBD.
b) Chứng minh BD là đường trung trực của AH.
c) Chứng minh ba điểm B, A,K thẳng hàng.
Bài 38. Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường phân giác BE (E thuộc
cạnh AC). Kẻ EH vuông góc với BC (H  BC).
11


1. Tính BAC.
  CBE
 và ABE  HBE.
2. Chứng minh ABE
3. Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
4. Kẻ đường cao AK của ABC. Chứng minh: AB  AC  BC  2 AK
3

Bài 39. Thể tích của hình hộp chữ nhật là 300 dm , biết chiều dài và chiều rộng
của hình hộp chữ nhật lần lượt là 10 dm; 6 dm. Tính diện tích xung quanh và
diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó.
Bài 40. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật làm bằng kính (không nắp) có chiều
dài 1 m , chiều rộng 70 cm, chiều cao 80 cm. Mực nước trong bể cao 30 cm.
3

Người ta cho vào bể một hòn đá thì thể tích tăng 14000 cm . Hỏi mực nước trong
bể lúc này là bao nhiêu?
Bài 41. Cho một hình lập phương có độ dài một cạnh bằng 12 cm. Tính diện tích
xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương đó.
Bài 42. Tính thể tích của một hình lập phương, biết diện tích toàn phần của nó là
2

384 cm .
Bài 43. Một hình lăng trụ đứng ABC.DEG có đáy ABC là một tam giác vuông
tại A, chiều cao của lăng trụ là 8 cm. Độ dài hai cạnh góc vuông của đáy là 3 cm
và 4 cm, độ dài cạnh còn lại là 5 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng.
b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng.
c) Tính thể tích của hình lăng trụ đứng.
B. Bài tập nâng cao
Bài 1. Chứng minh rằng:

a c
7a  11b 7c  11d
 , nếu biết:

bd4a 5b4c 5d

Bài 2. a) Chứng tỏ rằng: nếu a  b  c  0 thì x  1 là nghiệm của đa thức
2

f (x)  ax  bx  c.
b) Cho q(x)  x  101x  101x  101x  101x  101x  2022 . Tính q 100 .
8

7

6

5

2

12