MÃ KÍ HIỆU
......................
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Năm học 2019 – 2020
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)


Câu 1 (2 điểm).
1. Cho biểu thức:
với

a. Rút gọn biểu thức P;
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P;
c. Tìm x để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
2. Cho phương trình: x2 + (m - 2)x - 8 = 0.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức
Q = (x12 - 1)(x22 - 4) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (2 điểm).
1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình:

Câu 3 (1 điểm). Cho a, b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Câu 4 (1 điểm). Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:

Câu 5 (3 điểm): Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a. Chứng minh bốn điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Câu 6 (1 điểm). Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn khẳng định sau đây P, Q, R, S chỉ có duy nhất một khẳng định sai.
P = “a = 2b + 5”
Q = “a + 1 chia hết cho b”
R = “a + b chia hết cho 3”
S = “a + 7b là số nguyên tố”.
a. Hãy chỉ ra khẳng định nào sai trong bốn khẳng định trên, giải thích vì sao?
b. Hãy tìm các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn ba khẳng định đúng còn lại.

-------------------------- Hết--------------------------

MÃ KÍ HIỆU
......................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN
Năm học 2019 – 2020
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)


Chú ý:
+ Học sinh làm đúng bằng cách nào cũng cho điểm tối đa.
+ Bài làm sai từ đâu phần tiếp theo có liên quan không chấm.
+ Hình vẽ sai hoặc không khớp lời chứng minh thì không chấm.

Câu
Đáp án
Điểm


1
(2 điểm)
1. (1,5 điểm)



a. (0,5 điểm): ĐKXĐ:
















0,25






0,25


b. (0,5 điểm). Với



Lập luận chỉ ra





0,25


Chỉ ra
khi
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
đạt được khi



0,25


c. (0,5 điểm). Với

Ta có

Vì P > 0 nên với
thì Q xác định
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

. Dấu “=” xảy ra khi x = 1 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
Nên










0,25




Giải phương trình Q = 1 đối chiếu ĐKXĐ được
là giá trị cần tìm


0,25


2. (0,5 điểm).
Phương trình x2 + (m - 2)x - 8 = 0
Viết được
với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Vi-ét ta có
Khi đó có






0,25


Viết được

Dấu “=” xảy ra khi

Với x1 = 2 thì m = 4, với x1= -2 thì m = 0
Vậy Q có giá trị