CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 8: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không thể là các số chính
phương.
Bài 9: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chỉnh phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số
của 24.
Bài 12: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Bài 13: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng binh phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
444 … 444
888 … 888
Bài 14: Cho số nguyên dương n và các số A = ⏟ ; B = ⏟. Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số
2n

n

chính phương.
Bài 15: Giả sử N = 13.5.7...2007. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N – 1 , 2N, và 2N + 1 không có
số nào là số chính phương.
Bài 16: Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên
(S1 = 2; S2 = 2 + 3; S3 = 2 + 3 + 5; ...). Chứng minh rằng trong dãy số S1; S2; S3;… không tồn tại hai số hạng liên
tiếp đều là các số chính phương .
Bài 17: Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của p4 là một số chính phương.
Bài 18: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n2 – 14 – 256 là một số chính phương.
1 1 1 1
Bài 19: Cho các số nguyên a, b, c = 0 thoả mãn: + + =
a b c abc
2
2
2
Chúng minh rằng: (1 + a )(1 + b )(1 + c ) là số chính phương.
Bài 20: Tìm số tự nhiên n sao cho A = n2 + n + 6 là số chính phương
Bài 21: Tìm số tự nhiên abcd biết rằng nó là một số chính phương, chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố.
Bài 22: Cho S = 2 + 22 + 23 +...+ 298. Chứng tỏ S không phải là số chính phương.
Bài 23: Tìm x nguyên dương để 4x3 + 14x2 + 9x – 6 là số chính phương
Bài 24: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương
Bài 25: Tìm các số nguyên dương n sao cho 2n + 3n +4n là số chính phương.
Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2014 là một số chính phương.
Bài 27: Tìm các số nguyên x sao cho x3 – 3x2 + x + 2 là số chính phương.
Bài 28: Tìm số tự nhiên A biết rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai.
a) A + 51 là số chính phương.
b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1.
c) A − 38 là số chính phương.
Bài 29: Tìm các số hữu tỉ, thỏa mãn tổng sau là số chính phương: n2 + n + 503.
Bài 30: Tìm các số tự nhiên n sao cho n – 50 và n + 50 đều là số chính phương.
Bài 31: Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n + 65 là hai số chính phương.
Bài 32: Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số
nguyên.
Bài 33: Tìm n ∈ N* sao cho: n4 + n3 + 1 là số chính phương.
Bài 34: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y) sao cho 2(x2 + y2 − 3x + 2y) − 1 và 5(x2 + y2 + 4x + 2y + 3) đều là số
chính phương.
Bài 35: Chứng minh rằng số M = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n
nguyên dương.
Bài 36: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn √ 12 n2 + 1là số nguyên. Chứng minh rằng 2 √ 12 n 2 + 1 + 2là số
chính phương.
1 1 1
Bài 37: Cho a, b, c là các số nguyên dương , nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn : + =
a b c
Chứng minh rằng a + b là số chính phương.