PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP
TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM 2024

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi bao gồm: 02 trang đề thi)

Môn: TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 01. (5 Điểm).
1. Cho biểu thức:

.

a) Tìm điều kiện xác định của
b) Tính giá trị của biểu thức
2. Cho đa thức

để biểu thức
tại

và
. Tính

3. Cho
. Chứng minh:
Câu 02. (5 Điểm).
1. Giải phương trình sau:
a)

có nghĩa. Rút gọn

.

.
tại

.

.

b)

.

2. Giải hệ phương trình sau:
.
3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một cửa hàng bán quà lưu niệm được nhận đặt gói tất c ả 153 h ộp quà nh ư nhau
bằng ba loại giấy màu xanh, màu đỏ, màu vàng để chuẩn bị cho Lễ Giáng Sinh. Bi ết
số hộp quà được gói bằng giấy màu đỏ bằng

số hộp quà màu xanh, số hộp quà

được gói bằng giấy màu vàng bằng
số hộp quà màu đỏ và 153 hộp quà đều được
cửa hàng gói hết. Tính số hộp quà mỗi màu mà cửa hàng đã gói được.
4. Cho đường thẳng
thẳng

đi qua gốc tọa độ và điểm

và vuông góc với đường

.

a) Xác định hàm số của đường thẳng

.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
Câu 03. (5.0 Điểm).

.

Cho tam giác

có ba góc nhọn

đường cao

của tam giác cắt nhau tại điểm

1. Chứng minh rằng: Tứ giác
2. Kẻ đường kính
3. Gọi

, nội tiếp đường tròn

và

thẳng

.

là tứ giác nội tiếp.
.Chứng minh rằng:

.

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
và

và

c ủa

và các

cắt nhau tại điểm

. Chứng minh rằng

là tiếp tuyền của đường tròn

và

. Hai đường
đồng dạng với

.

Câu 04. (2.0 Điểm).
1. Một bồn chứa xăng dầu có phần dưới là một hình trụ với chi ều cao b ằng đ ường
kính đáy và phần trên là nửa hình cầu có đường kính bằng đường kính hình trụ.
Biết diện tích bề mặt của bồn chứa là 455m2.Tính thể tích của nó.
2. Trong Lễ hội Giáng Sinh, bạn Tuấn Anh đã chuẩn bị một giỏ quà để tạo bất ngờ
cho một người bằng cách cho người bạn đó chọn ngẫu nhiên 3 vật trong gi ỏ quà
đó. Biết rằng trong giỏ quà đó bao gồm 4 hộp quà giống nhau, 2 quả cầu pha lê, 1
bó hoa.
a. Xác định không gian mẫu của phép thử và hãy cho bi ết ng ười bạn đó có bao
nhiêu cách chọn?
b. Tính xác suất của biến cố: V: “Người bạn của bạn Tuấn Anh chọn được ph ần
quà bao gồm 1 hộp quà, 1 quả cầu pha lê, 1 bó hoa”.
Câu 05. (3.0 Điểm).
1. Tìm các cặp số nguyên

thỏa mãn

2. Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
.
-------- HẾT-------Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi và tài liệu!

HƯỚNG DẪN CHẤM THI – BÀI THI MÔN TOÁN
Câu
1.1

Ý

Đáp án
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định của
Rút gọn .

- Điều kiện xác định của

Điểm
.

để biểu thức

1.5

có nghĩa.
0.25

là:

0.25

a)

0.25

0.25
0.25

0.25
1.25

b)
Tính giá trị của biểu thức

tại

và

.
0.5

Ta có:

0.75
Thay (*) vào

ta được

Cho đa thức

. Tính

1.25

tại

Ta có:

0.5

1.2

0.25
0.25
0.25
Kết luận: f(a)=-1
Cho

1.0

. Chứng minh:

.

0.5

Ta có:

(vì

1.3

)

0.25

Mặt khác:

2.1

a)

Suy ra:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

0.25
1.0

.

.
Giải phương trình
+ Điều kiện
Phương trình tương đương
+ Đ ặt

,

.

.

Ta có phương trình

(loại)
(thỏa điều kiện).

Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm

,

.

.

b)

1.0

Điều kiện
Ta có

Với

thì

; do đó

(nhận).

Vậy
Giải hệ phương trình sau:

1.0
.

Hệ phương trình đã cho tương đương với
2.2

Thay (2) vào (1) ta có:

Thay vào (2) ta thấy:
Khi
(không thỏa mãn).
Khi
2.3

Vậy nghiệm của hệ đã cho là
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một cửa hàng bán quà lưu niệm được nhận đặt gói tất c ả 153 h ộp quà nh ư nhau
bằng ba loại giấy màu xanh, màu đỏ, màu vàng để chuẩn bị cho L ễ Giáng Sinh. Bi ết

1.0

số hộp quà được gói bằng giấy màu đỏ bằng

số hộp quà màu xanh, số hộp quà

được gói bằng giấy màu vàng bằng
số hộp quà màu đỏ và 153 hộp quà đều được
cửa hàng gói hết. Tính số hộp quà mỗi màu mà cửa hàng đã gói được.

2.4

Cho đường thẳng

đi qua gốc tọa độ và điểm

và vuông góc với đường thẳng
0.5

.
a) Xác định hàm số của đường thẳng
a)

Vì
Vì

.

đi qua gốc tọa độ nên  hàm số của đường thẳng
nằm trên đường thẳng



Thay tọa độ điểm N vào hàm số đường thẳng
b)

Vậy hàm số của đường thẳng

có dạng y=ax (a≠0)

. Ta có: 1=a.1 a=1

là y=x.

Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng

.

Ta có:
Ta có khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng

là:

0.5

3.1

Cho tam giác
có ba góc nhọn
, nội tiếp đường tròn
cao
của tam giác cắt nhau tại điểm .
Chứng minh rằng: Tứ giác
là tứ giác nội tiếp.

và các đường

A

E

F
H

B

D

O

C

2.0

1
0.5
0.5

Kẻ đường kính

c ủa

.Chứng minh rằng:

2.0

.

A

E

F
H

O

3.2

B

C

D

K
0.5
0.5
0.5
0.5

Gọi

và

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
cắt nhau tại điểm . Chứng minh rằng

và

tiếp tuyền của đường tròn

và
. Hai đường thẳng
đồng dạng với
và
là

1.0

.

A

E
N

F

O

H

3.3
B

D

C

M
K

I

Một bồn chứa xăng dầu có phần dưới là một hình trụ với chi ều cao b ằng đ ường kính
đáy và phần trên là nửa hình cầu có đường kính bằng đường kính hình trụ. Bi ết di ện
tích bề mặt của bồn chứa là 455m2.Tính thể tích của nó.
- Diện tích bề mặt phần dưới của bồn chứa xăng dạng hình trụ là:
- Diện tích bề mặt phần trên của bồn chứa xăng dạng nửa hình cầu là:

4.1

1
0.25
0.25
0.5

4.2

a

- Diện tích bề mặt của bồn chứa là:
hay
Trong Lễ hội Giáng Sinh, bạn Tuấn Anh đã chuẩn bị một gi ỏ quà đ ể tạo b ất ng ờ cho
một người bằng cách cho người bạn đó chọn ngẫu nhiên 3 vật trong gi ỏ quà đó. Bi ết

0.5

b

rằng trong giỏ quà đó bao gồm 4 hộp quà giống nhau, 2 quả cầu pha lê, 1 bó hoa.
Xác định không gian mẫu của phép thử và hãy cho biết người bạn đó có bao nhiêu cách
chọn?
Không gian mẫu của phép thử là:
{(Q1;Q2;Q3),(Q2;Q3;Q4), (Q1;Q3;Q4), (Q1;Q2;Q4),
(Q1;Q2;C1), (Q1;Q2;C2), (Q1;Q3;C1), (Q1;Q3;C2), (Q1;Q4;C1), (Q1;Q4;C2), (Q2;Q3;C1),
(Q2;Q3;C2), (Q2;Q4;C1), (Q2;Q4;C2), (Q3;Q4;C1), (Q3;Q4;C2), (Q1;C1;C2), (Q2;C1;C2),
(Q3;C1;C2), (Q4;C1;C2),
(Q1;Q2;Bông), (Q1;Q3;Bông), (Q1;Q4;Bông), (Q2;Q3;Bông), (Q2;Q4;Bông), (Q3;Q4;Bông),
(Q1;C1;Bông), (Q1;C2;Bông), (Q2;C1;Bông), (Q2;C2;Bông), (Q3;C1;Bông), (Q3;C2;Bông),
(Q4;C1;Bông), (Q4;C2;Bông), (C1;C2;Bông).
n(Ω)=30
Có 30 cách chọn hay trường hợp có thể xảy ra.
Tính xác suất của biến cố: V: “Người bạn của bạn Tuấn Anh chọn được phần quà bao
gồm 1 hộp quà, 1 quả cầu pha lê, 1 bó hoa”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố V là: (Q1;C1;Bông), (Q1;C2;Bông), (Q2;C1;Bông),
(Q2;C2;Bông), (Q3;C1;Bông), (Q3;C2;Bông), (Q4;C1;Bông), (Q4;C2;Bông)
 n(V)=8
 xác suất của biến cố V là:
Tìm các cặp số nguyên

5.1

5.2

1.5

thỏa mãn

Biến đổi phương trình về dạng
+ TH1:

+ TH2:

+ TH3:

+ TH4:

.

Từ đó tìm được
Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương

0.5

1.5
.

Suy ra
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi