Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang
Trêng THCS §øc Th¾ng

d¬ng m¹nh hïng

®Ò kh¶o s¸t häc sinh giái lÇn 1 n¨m häc 2011-2012
M«n To¸n líp 8
Thêi gian: 120 phót
Ngµy lµm bµi : 24/11/2011
Câu1.

a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

b. Giải phương trình:
c. Cho

. Chứng minh rằng:

Câu2. Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết x = .
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ
ME AB, MF AD.
a. Chứng minh:
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011

Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang
Trêng THCS §øc Th¾ng

d¬ng m¹nh hïng

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

24

Câu 1
(3 điểm)

Đáp án

Điểm

a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
4

4

2

2

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
<=>
(*)

b.

Vì x2 - x + 1 = (x -

)2 +

(1 điểm)

>0

 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0


(1 điểm)

c. Nhân cả 2 vế của:
với a + b + c; rút gọn
Biểu thức:

đpcm

(1 điểm)

a. Rút gọn được kq:
Câu 2
(3 điểm)

b.

(1 điểm)

hoặc
hoặc

c.

(0.5 điểm)
(0.5 điểm)

d.

(1 điểm)
A

Câu 3

E

B

HV + GT + KL
F
D

(0.5 điểm)

M
C

(3 điểm)

a. Chứng minh:

đpcm

b. DE, BF, CM là ba đường cao của
đpcm
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
không đổi
lớn nhất
(AEMF là
hình vuông)
là trung điểm của BD.

(1 điểm)
(1 điểm)

(0.5 điểm)

a. Từ: a + b + c = 1

(0.5 điểm)
Câu 4:
(1 điểm)
Dấu bằng xảy ra

a=b=c=

b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
 a = 1 hoặc b = 1
Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(0.5điểm)