PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2024-2025

ĐỀ THI THỨ NHẤT

(Đề thi bao gồm 02 trang)
Câu 1. (5.0 Điểm).
1. Cho biểu thức:
a) Khi nào biểu thức

Bài thi môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút,
(không kể thời gian phát đề)

có nghĩa? Hãy rút gọn biểu thức

.

.

b) Tính giá trị của biểu thức tại
.
c) Tìm giá trị của ẩn để đạt giá trị lớn nhất.
2. Cho

và
là hai số thỏa mãn:
.
Câu 2. (5.0 Điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ
Chứng minh rằng khi
cố định.

. Hãy tính giá trị của biểu thức

, xét hai đường thẳng
thay đổi, giao điểm của

2. Giải phương trình sau: a)
3. Giải hệ phương trình sau:
Câu 3. (5.0 Điểm).

và
và

.

luôn nằm trên một đường thẳng

.

b)

.

.

Cho đường tròn tâm
đường kính BC, dây AD vuông góc với OB tại H. Gọi E, F theo thứ
tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Vẽ đường tròn tâm G đường kính BH và đường
tròn tâm K đường kính CH.
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng:
c) Chứng minh rằng:
là tiếp tuyến chung của
và tâm
Câu 4. (2.0 Điểm).
1. Tính lượng vải cần dùng để tạo ra chiếc nón như hình vẽ. Biết rằng tỉ lệ khấu
hao thực tế khi may một chiếc nón như vậy là
(Không kể phần riềm,
mép, phần vải bị thừa).
2. Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một cửa hàng bao gồm 2 phần quà bao
gồm: Một trong số các đồ gia đình là: chén sứ, tủ lạnh, máy tính;Và một món trong số các quà
lưu niệm như: quả cầu thủy tinh, đồng hồ. Bác Hân tham gia chương trình đó nên được chọn
ngẫu nhiên bóc thăm chọn một phần thưởng.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử trong trường hợp trên và có bao nhiêu cách chọn
phần thưởng đó?
b) Cho A là : "Bác Hân chọn được phần thưởng có đồ gia đình là đồ điện".Tính xác suất biến
cố.
Câu 5. (3.0 Điểm).
1. Tìm các cặp số nguyên

thỏa mãn phương trình:

.

2. Cho ba số

thoả mãn

Chứng minh
chia hết cho
----- HẾT ---PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2024-2025
ĐỀ THI THỨ NHẤT

Bài thi môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút,
không kể thời gian phát đề
HƯỚNG DẪN CHẤM

(Hướng dẫn chấm bao gồm 06 trang)

Đáp án câu 1
1. Cho biểu thức:
a) Khi nào biểu thức

có nghĩa? Hãy rút gọn biểu thức

Điểm
.

.

3.25

b) Tính giá trị của biểu thức tại
.
c) Tìm giá trị của ẩn để đạt giá trị lớn nhất.

1.
a. Điều kiện để P có nghĩa là : x 0 ; y 0 ; xy 1
Ta có :
 x y
x y 

 :  1  x  y  2 xy 


 1  xy
1  xy 
1  xy  
P= 





  x  y 1 
xy 1  xy 

x  y 1  xy 

=

1 

x y x y y x x
1  xy

=

xy

0.5

 : 1  xy  x  y  2 xy

0.5

1  xy

y x yy x

:

x  y  xy  1
1  xy

0.25
0.25

2 x  2y x
1  xy
1  x y  1
= 1  xy
2 x 1  y  2 x




1

x
1

y
1 x
=

2
b. Ta thấy x= 2  3 thoả mãn điều kiện x 0
2 2 3
2
Ta có : x= 2  3 = 2  3 2  3 =4-2 3 =( 3 -1)2
2 x
Thay x vào P = x  1 , ta có:





2

 3  1

2



 

52  2 3

2



2 31

=
= 25  12 =
c. Với mọi x 0, ta có:





2

x  1 0






2 3  1 52 3
5 2 3 = 5 2 3 52 3


3  23 3  1 23

P= 4  2 3  1

2 5 3 6 5 2









3 1
13




0.5
0.25

x




2

 2 x  1 0

x+1  2 x
2 x
1 1 x
2 x
1
1 x
P 1






0.25
( vì x+1>0)

Vậy giá trị lớn nhất của P =1 
x  1 0

x 1


x=1
2.Cho
thức

và



0.25



2

x  1 0

0.5

là hai số thỏa mãn:

. Hãy tính giá trị của biểu

1.75

.

0.25

0.5

0.5

0.5

Vậy x+y=0
Câu 2. (5.0 Điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ

Đáp án câu 2
, xét hai đường thẳng

. Chứng minh rằng khi
thay đổi, giao điểm của
luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Tìm được (d1) cắt (d2) tại M(2m ; 5m-1) với mọi m.
Suy ra quan hệ : ym = 5xm/2 – 1 với mọi m

Điểm
và

1
và

Do đó khi m thay đổi, giao điểm M của (d1) và (d2) luôn nằm trên đường thẳng cố định
(d) : y = (5/2)x - 1.
2.Giải phương trình sau:
a)

.

b)

1
2.5

.

Điều kiện:

0.25

.

Với điều kiện đó, ta có

0.5
Nếu

thì

Nếu

thì

, không thỏa mãn phương trình.
, ta có
0.25
0.25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

.
0.25

Đặt

0.25

ta có phương trình
vô nghiệm

0.5
0.25

Vậy tập nghiệm của phương trình là
3.Giải hệ phương trình sau:

Đặt

1.5
.

khi đó a, b là nghiệm của phương trình

0.5

Do đó:

0.75

0.25

Vậy
Đáp án câu 3
Cho đường tròn tâm O đường kính BC, dây AD vuông góc với OB tại H. Gọi E, F
theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Vẽ đường tròn tâm G
đường kính BH và đường tròn tâm K đường kính CH.
a) Chứng minh rằng:
Hình vẽ:

Điểm
1.0

A
F
E

B

H

O

C

D
a)Chứng minh
b) Chứng minh rằng:
b)

1.25
2.5

Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
Sử dụng định lý Pytago vào
c) Chứng minh rằng:
c)

1
0.5
1

ta có:

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm

và tâm

Chứng minh:
Mà
Suy ra: EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm
Chứng minh tương tự: EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm
Vậy
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm
và tâm
ĐÁP ÁN CÂU 4
1. Tính lượng vải cần dùng để tạo ra chiếc nón như hình vẽ. Biết rằng tỉ lệ khấu hao
thực tế khi may một chiếc nón như vậy là
(Không kể phần riềm, mép, phần
vải bị thừa).

1.5
0.25
0.25
0.5
0.75

Điểm

1.0

1.
- Bán kính của phần trong chóp nón là:
- Diện tích vải xung quanh của phần chóp của nón là:

0.125
0.25
0.25

- Diện tích vải để làm phần vành của nón là:

0.125

- Diện tích vải để làm chiếc nón là:
- Diện tích vải đề làm chiếc nón với phần hao hụt 4% là:

0.25

2. Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một cửa hàng bao gồm 2 phần quà bao gồm:
Một trong số các đồ gia đình là: chén sứ, tủ lạnh, máy tính;Và một món trong số các quà lưu niệm như:
quả cầu thủy tinh, đồng hồ. Bác Hân tham gia chương trình đó nên được chọn ngẫu nhiên bóc thăm
chọn một phần thưởng.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử trong trường hợp trên và có bao nhiêu cách chọn phần
thưởng đó?
b) Gọi A là biến cố: "Bác Hân chọn được phần thưởng có đồ gia đình là đồ điện". Tính xác suất biến cố
A.

2.
a) Không gian mẫu của phép thử trên: Gọi (a;b) là kết quả của phép thử. Trong đó a là
đồ gia đình và b là quà lưu niệm.

1.0

0.25

 Ω={(chén sứ;quả cầu), (chén sứ;đồng hồ), (tủ lạnh; quả cầu), (tủ lạnh; đồng hồ),
(máy tính; quả cầu), (máy tính, đồng hồ)
 n(Ω)=6
Có tất cả 6 cách chọn phần thưởng.
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: (tủ lạnh; quả cầu), (tủ lạnh; đồng hồ),
(máy tính; quả cầu), (máy tính, đồng hồ)
 n(A)=4

ĐÁP ÁN CÂU 5
1. Tìm các cặp số nguyên
Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16

Điểm
1.5

thỏa mãn phương trình:

( 2x – y )2 + 3y2 = 16
( 2x – y ) = 16 – 3y
Vì ( 2x – y )2

0.25
0.75

2

0 nên 16 – 3y2

0

y2

5

y2

{ 0; 1; 4 }

Nếu y = 0 thì x = 4
x= 2
2
2
Nếu y = 1 thì ( 2x – y ) = 13 không là số chính phương nên loại y2 = 1
2

2

0.25
0.25

- Nếu y2 = 4
y= 2
+ Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2
+ Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2
Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên là
2. Cho ba số
cho

thoả mãn

Chứng minh

(tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6).

Vậy

chia hết

1.5
0.25

Ta có:

Tương tự

0.25
0.25

 Xác suất biến cố

2

0.25

và có 2022 6

0.5
0.5
0.25