Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 11. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
C. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức
1. Phương pháp
2. Ví dụ
Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức
1. Phương pháp: Tách hàm số muốn lấy nguyên hàm thành các hàm số phân thức cơ bản:
2. Các ví dụ
Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Dạng 4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Dạng 6: Bài tập tổng hợp
Dạng 7 : Toán thực tế
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
F. TRẢ LỜI NGẮN
CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 11. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. NGUYÊN HÀM CỦA 1 HÀM SỐ
Cho hàm số

xác định trên một khoảng

gọi là một nguyên hàm của hàm số
Chú ý. Trường hợp
phải tại điểm

trên

nếu

với mọi

thì các đẳng thức

hàm số

trên

b) Nếu hàm số

? a)

;

b)

là một nguyên hàm của

, hàm số

với mọi
dạng

, tức là

.
trên

. Khi đó:

cũng là một nguyên hàm của
trên

trên

;

thì tồn tại một hằng số

sao cho

thì mọi nguyên hàm của

trên

.

là một nguyên hàm của
(

.

được hiểu là đạo hàm bên

của hàm số

là một nguyên hàm của

Như vậy, nếu

được

. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của

Định nghĩa.Giả sử hàm số
a) Với mỗi hằng số

thuộc

và

và đạo hàm bên trái tại điểm

Ví dụ 1. Cho hàm số

bởi

(hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số

trên

là hằng số). Ta gọi

là họ các nguyên hàm của

trên

đều có
, kí hiệu

.

Chú ý:a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số
một nguyên hàm

của

trên

và khi đó

trên

là hằng số.
1

, ta chỉ cần tim

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số

liên tục trên khoảng

thì

có nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức

gọi là vi phân của nguyên hàm

, kí hiệu là

Vậy
.
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập
nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số
2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

trên

.

, ta hiểu là tìm
. Từ đó hãy tìm

.

Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0
Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a)
Nguyên hàm của một tổng

b)

Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm:
a)
;
b)
.
Ví dụ 5. Giải bài toán : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử
vận
tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi
, với là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi
máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di
chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
Hàm số luỹ thừa

có đạo hàm với mọi

và

.

.

Ví dụ 6. Tìm:a)
;
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 7. Tìm:a)

b)

;

b)

c) Nguyên hàm của hàm số mũ
Ví dụ 8. Tìm: a)
;
b)
;
c)
.
Ta tổng kết lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp như sau.

2

c)

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có thể tìm
được nguyên hàm của nhiều hàm số khác.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
4.1. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số
ứng không? Vì sao?
a)

và

có là một nguyên hàm của hàm số

trên khoảng

trên khoảng tương

;

b)
và
trên .
4.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

b)

c)

4.3. Tìm: a)

; d)

;b)

4.4. Tìm: a)

;c)
;

4.5. Cho hàm số

b)

; d)

;c)

xác định trên khoảng

. Tính giá trị

.
.
d)

. Biết rằng,

với mọi

và

.

4.6. Cho hàm số

có đồ thị là

của tiếp tuyến của đồ thị

tại

. Xét điểm

là

thay đổi trên

và điểm

. Biết rằng, hệ số góc

trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục

tung. Tìm biểu thức
.
4.7. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm

giây (coi

là thời

điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi
. Tìm độ cao của viên đạn
(tính từ mặt đất):
a) Sau
giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
C. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức
1. Phương pháp.Dùng các phép biến đổi, các phương pháp tính nguyên hàm đưa nguyên hàm về nguyên
hàm hàm đa thức:
2. Ví dụ

;

Ví dụ 1. Tính
Ví dụ 2.

Tìm họ tất cả nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 3.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 5: Biết hàm số

y  f x 

có

f x  x  1x  2 

.

f x  3x  2 x  m f 2  1
2

,

và đồ thị của hàm số

f x
tung tại điểm có tung độ bằng  5 . Tìm hàm số  
Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức
1. Phương pháp:
Tách hàm số muốn lấy nguyên hàm thành các hàm số phân thức cơ bản:

3

y  f x 

cắt trục

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

;

2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho

là một nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm

; biết

. Tính

.

.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm
Ví dụ 4: Biết

là một nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 5: Biết

và

Tính

Tính giá trị biểu thức
Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức

1. Phương pháp
Đổi biến số đưa nguyên hàm cần tìm về nguyên hàm của hàm lũy thừa hoặc nguyên hàm của hàm phân
thức.
Chú ý thêm các công thức mở rộng sau:

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
Ví dụ 3: Tính
1. Phương pháp
* Bảng nguyên hàm cơ bản:

Dạng 4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
4

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 4: Cho
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

và
Tính
Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga

Ví dụ 1: Cho

. Tìm

Ví dụ 2: Hàm số

có một nguyên hàm là

Ví dụ 3: Cho

là một nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 4. Biết

thỏa mãn

là một nguyên hàm của hàm số
và
Dạng 6: Bài tập tổng hợp

Câu 1:Cho hàm số
Giá trị của biểu thức
Câu 2:Gọi

. Tìm nguyên hàm của hàm số

. Tính

, ta có

.

bằng

là một nguyên hàm của hàm số

, thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức

.

.

Câu 3:Cho hàm số
Tính

. Tìm

xác định trên

thỏa mãn

,

,

.

.

Câu 4:Biết

là một nguyên hàm của hàm số

trên

.

Tính
Câu 5:Cho hàm số

thỏa mãn

và

Câu 6:Cho hàm số

xác định trên

Tính

.

biết rằng

Câu 7:Cho hàm số

với mọi

, thỏa mãn

,

. Tính

và

thỏa mãn

.
.

và

.

Tính giá trị của

Câu 8:Cho hàm số
với mọi

liên tục trên đoạn
. Biết rằng

thỏa mãn

. Tính giá trị của
Dạng 7 : Toán thực tế

Ví dụ 1. Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi
giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?
Ví dụ 2. Kí hiệu

là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng

tiên cây cao 2 m . Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ
a) Xác định chiều cao của cây sau năm
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m ?

và

.

5

. Sau khi rơi đ̛ược
năm. Biết rằng sau năm đầu
(m/ năm).

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 3. Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ

thì tăng tốc với gia tốc không đổi

. Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Ví dụ 4: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t), biết nếu phát
hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 5000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát
triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là
và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 10 ngày
bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập
phân thứ hai)?
Ví dụ 5: Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng công thức
, với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t = 0 ứng với năm 1970). Biết rằng số dân của
thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của thị trấn đó vào năm 2008 ước tính là bao nhiêu ?
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A.
Câu 2:

.

. B.

.

Cho

C.

.

C.

. D.

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số

A.

.

Câu 5:

Họ nguyên hàm của hàm số

,

.

,

.

D.

là hằng số ta có

.

C.

.

D.

.

D.

.
là

B.

.

C.

.

A.

.

Câu 8:

Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số

A.

D.

.

là

B.

.

.B.

C.

.

.C.

.

D.

.
?

.D.

Họ các nguyên hàm của hàm số
. B.

.

là

Họ nguyên hàm của hàm số

Câu 9:

bằng
.

Câu 7:

A.

.

là

Họ nguyên hàm của hàm số

A.

.

.

B.

C.

D.

B.

B.
.

.

.

. Khi đó với

A.

C.

.

A.

Câu 6:

.

Tìm nguyên hàm

A.
Câu 3:

B.

.

là
C.

.
6

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 10: Nguyên hàm của hàm số
A.

,

Câu 11: Cho

là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

.

,

C.

,

B.

.

,

D.

,

là một nguyên hàm của hàm số

bằng A.

.

B.

.

C.

.

.

C.

.

.

B.

.

D.

.

.

C.

Câu 14: Nguyên hàm của hàm số

.

.

B.

C.

.

D.

.
.

B.

.

.

D.

.

Câu 16: Một nguyên hàm của hàm số
A.

.

.B.

Câu 17: Biết
A.
.

.C.

là một nguyên hàm của
B.
.

Câu 18: Nguyên hàm
A.

của hàm số

B.

thì

, biết

.B.

.

.D.

và
C. .

.

.

bằng.
D. .
là:

.C.

Câu 19: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.

.

.

Câu 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

C.

D.

là

A.

.

.

là:

B.

A.

D.

, giá trị của

là

Câu 13: Nguyên hàm của hàm số
A.

.

thỏa mãn

Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số
A.

.

.D.

.

.
C.

.
7

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 20: Cho biết
A.
.
Câu 21:
đó
A.

,
.

B.

.

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.
D.
.

C.

là một nguyên hàm của hàm số
,

. Biết

,

là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức
B. .
C. .
D.

Câu 22: Cho hàm số
thức

xác định trên

bằng A.

.

thỏa mãn
B.

.

A.

. B.

C.

.

.

B.

A.

f x  

D.

.

.

.
C.
f x   1  2x

.

D.

.

.

D.

là:
3
2 x  1 1  2 x
C. 4
.

, biết rằng

và

D.

.



1
1  2 x  1  2 x
3
.

.

2
2 x2
8 x x x 40
8 x x x 88
f x  
1
f x  

1


f x  
 
x .C.
x 2
3
2
3 .B.
3
2 3 .D.
.
2

2

Câu 27: Biết
là nguyên hàm của hàm số
Khi đó, giá trị của tham số
bằng
A.
.
B. .

thỏa mãn
C.

Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số
A.

. Giá trị của biểu

là

Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số
3
3
 1  2 x  1  2 x
2 x  1 1  2 x
A. 2
.
B. 2
.
Câu 26: Tìm hàm số

.

trên

. C.

Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số

bằng.

và

Câu 23: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số

A.

trong

.

Câu 29: Tìm nguyên hàm

.

C.

của hàm số

C.

D.

Câu 31: Tính tích phân

.

. D.
thỏa mãn

A.
.B.
.C.
Câu 30: Khẳng định nào sau đây là đúng.
B.

D.

.

là

B.

A.

.

và

.

.D.

A.

B.

8

.

.

C.

D.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 32: Tìm nguyên hàm của hàm số

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Câu 33: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

B.

C.
D.
Câu 34: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A.
C.

và

.

và

.

B.

và

D.

và

.
.

Câu 35: Tìm nguyên hàm
A.

B.

C.

D.

Câu 36: Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số
A.

B.

C.

D.

thì:

Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

B.

C.

D.

Câu 38: Nguyên hàm
A.
B.
Câu 39: Tìm nguyên hàm

bằng
C.

D.

của hàm số

A.

B.

C.

D.

Câu 40: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.
Câu 41: Biết
A.

B.

C.

D.
,
C.

B.

Câu 42: Tìm nguyên hàm của hàm số
9

là phân số tối giản. Giá trị
D.

là

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

B.

C.

D.

Câu 43: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

.B.

Câu 44: Cho
A.

.C.

là nguyên hàm của hàm số

.

B.

D.

. Tính

.

C.

.

Câu 45: Biết F làm một nguyên hàm của hàm số
A.

D.

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 47: Gọi

, biết

.A.

B.

là một nguyên hàm của hàm số

thức

.
. Giá trị của F là

C.

S của phương trình

. Tìm tập nghiệm

C.

D.

, thỏa mãn

. Tính giá trị biểu

.

A.

.B.

Câu 48: Biết rằng
hàm của
A.

và

B.

Câu 46: Kí hiệu

D.

.C.

là một nguyên hàm của

thỏa mãn

trên khoảng

, giá trị của

.

B.

.D.

.

. Gọi

là một nguyên

bằng

.

C.

.

D.

.

f x 
0;  và thỏa
Câu 49: Giả sử hàm số
có đạo hàm liên tục trên , nhận giá trị dương trên khoảng
f 1 1, f  x   f '  x  3x  1
mãn
với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
4  f 5   5.
1  f 5   2.
3  f 5   4.
2  f 5   3.
A.
B.
C.
D.
Câu 50: Cho hàm số
Giá trị của
Câu 51: Cho

bằng A.

có đạo hàm trên

thỏa mãn

.

B.

và

.

C.

là một nguyên hàm của hàm số

.

Câu 1:

Cho hàm số

a) Hàm số

.

xác định trên

của biểu thức
bằngA.
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

D.

.

thỏa mãn

bằng
B.

Câu 52: Cho hàm số

.

trên khoảng

. Giá trị của biểu thức
A.

.

.

C.

.

thoả mãn
B.

.

,

C.

. D.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

có một nguyên hàm là hàm số

.
10

D.

.
và

. Giá trị
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

c) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

d) Hàm số

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 2:

Cho hàm số

.
thỏa mãn

. Khi đó

.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Nguyên hàm của hàm số

là

b) Một nguyên hàm của hàm số
c) Nguyên hàm của hàm số
d) Hàm số

.

.
là

.

là

.

là một nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn

. Khi đó

.
Câu 3:Cho hàm số

xác định trên khoảng

a) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

b) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

c) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

d) Hàm số

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 4:Cho hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
.
.
.
thỏa mãn

xác định trên khoảng

a) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

b) Hàm số

có một nguyên hàm là hàm số

c) Nguyên hàm của hàm số

. Khi đó
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
.
.

là

.

d) Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Khi đó
Câu 5: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm
điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi
a) Độ cao của viên đạn tại thời điểm

là

.
là

c) Độ cao của viên đạn tại thời điểm

khi đó

.
.

d) Độ cao của viên đạn khi nó đạt độ cao lớn nhất là
a)

Hàm số

(

.
là thời

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

b) Độ cao của viên đạn tại thời điểm

Câu 6:

.

là một nguyên hàm của hàm số
b)
11

.
trên

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c)
Câu 7:

d)
là một nguyên hàm của hàm số
.
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của

máy bay khi chạy đà được cho bởi

, với t là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà.

Sau 30 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi
là quãng đường máy bay di chuyển được sau t
giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
.
c)
.
d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường bằng là 1500m.
Câu 8:
và

Cho hàm số
. Giả sử
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số
c)

là

là nguyên hàm của

trên

thỏa

b)

.

d)

Câu 9: Cho hai hàm số
và
a) Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
trên

b)
c)
d)
.
Câu 10: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
, trong đó t là tính bằng giờ ,
người đã có mặt tại lễ hội. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

tính bằng khách/ giờ. Sau một giờ, 500

Hàm số
, biểu diễn số lượng khác tham dự lễ hội, với
Sau 3 giờ có 2300 khách tham dự lễ hội.
Số lượng khách tham dự lớn nhất là 28230 khách.
Tại thời điểm
giờ thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất.

.

Câu 11:Cho hàm số
a) Hàm số
.

được gọi là một nguyên hàm của hàm số

b)
d) Giả sử

;

trên

c)

nếu

là nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn

. Khi đó

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a)

.
một nguyên hàm của hàm số

Câu 13: Cho hàm số

a)
c)

b)

;
thỏa mãn

c)

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

b)

là một nguyên hàm của hàm số

.

d)

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
12

.
.

. Khi đó

.

Câu 14: Cho hàm số

thuộc

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 12: Cho hàm số

d)

với mọi

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Nếu hàm số
của hàm số

là một nguyên hàm của hàm số

trên

thì

cũng là một nguyên hàm

.

b)
c)

; d)

Câu 15: Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số
động, vật có vận tốc
sai của các mệnh đề sau.

. Gọi

a)

là hằng số).

c) Nếu

(

. Lúc bắt đầu chuyển

là phương trình vận tốc của vật theo thời gian . Xét tính đúng –
b)

(

là phương trình quãng đường của vật theo thời gian

d) Phương trình vận tốc của vật là
Câu 16: Cho hàm số

là hằng số)
thì

.

.

xác định trên

thỏa mãn

,

và

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Có

.

b) Ta có

c)

;

.

d)

.

Câu 17: Cho
là một nguyên hàm của hàm số
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Có

.

c)

b)

;

Câu 18: Cho

. Biết

.

lần lượt là nguyên hàm của hàm số
.

c)

. Các mệnh đề sau đúng

b)

.

Câu 19: Cho

.

.

d)

hay sai? a) Có

với mọi

.

d) Biết rằng

thì

.

lần lượt là một nguyên hàm của hàm số
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Có

.

c)
Câu 20:Gọi
hay sai?

.

b)

.

d) Biết

thì

là một nguyên hàm của hàm số
a)

.

thỏa mãn

b)

.
13

Các mệnh đề sau đúng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c)

.

Câu 21:Cho hàm số
sai?

thỏa mãn

a)

. b)

Câu 22: Cho hàm số

d)
thỏa

.

.

c)

. d)

b)

thỏa mãn

và biết

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

d)

là nguyên hàm của hàm số

b)

và

. Các mệnh đề sau đúng hay

c)

Câu 25: Biết
là nguyên hàm của hàm số
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

b)

c)

d)

Câu 26: Cho hàm số

và

.

c)

a)

.

.

d)

có nguyên hàm là

Câu 24:Biết
sai?

c)

b)

.

a)

Các mệnh đề sau đúng hay

có đạo hàm liên tục trên đoạn

a)

Câu 23:Cho

.

d)
trên

. Giả sử

và

là nguyên hàm của

trên

thỏa mãn

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

b)

.

c)
d)
Câu 27: Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc
thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó
, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó . Gọi
là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian kể từ lúc đạp
phanh. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian kể từ lúc đạp phanh là một nguyên hàm của
.
b)
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây.
d) Trong trường hợp trên, xe ô tô gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật.
14

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 28: Cho hàm số
a)

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

là một nguyên hàm của hàm số

b) Một nguyên hàm của

là hàm số

c) Họ nguyên hàm của
d) Biết

.

là

.

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 29: Cho hàm số
sau đúng hay sai?

a)

.

.

xác định trên

b) Hàm số

c) Hàm số

và

.Khi đó

và thỏa mãn

được viết lại thành

.

thì giá trị của biểu thức

Câu 30: Một đám vi khuẩn ngày thứ
có số lượng là
lượng vi khuẩn là
con. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

là nguyên hàm của
số lượng vi khuẩn là
con.
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

là một nguyên hàm của hàm

b)

là một nguyên hàm của hàm số

d) Cho

.
.
.

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 32: Cho hàm số

. Khi đó

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số

c) Với

. Khi đó

là một nguyên hàm của hàm số

c)

b)

và lúc đầu số

con.

Câu 31: Cho hàm số
a) Cho

. Biết rằng

.

b) Số lượng vi khuẩn ở ngày thứ nhất là
c)
d) Ngày thứ

. Các mệnh đề

có dạng

d) Nếu

a)

.

là

.

là một nguyên hàm của hàm số
thì nguyên hàm của hàm số là

khi
.

15

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d) Có một giá trị nguyên của tham số

thì nguyên hàm

của hàm số

thoả mãn

và

.
Câu 33:Cho hàm số
hay sai?

,

a) Tập xác định của hàm số

là

là nguyên hàm của hàm số

. Các mệnh đề sau đúng

.

b) Hàm số

có họ nguyên hàm là

c) Nếu

thì

.
.

d) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để
là khoảng
. Khi đó,
.
Câu 34: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
, trong đó tính bằng giờ
người đã có mặt tại lễ hội. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

tính bằng khách/giờ. Sau một giờ, 400

a) Lượng khách tham dự lễ hội được biểu diễn bằng hàm số
.
b) Sau 2 giờ, sẽ có 700 khách tham dự lễ hội.
c) Sau 3 giờ, sẽ có 846 khách tham dự lễ hội.
d) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 51520.
Câu 35: Cho hàm số
các mệnh đề sau.

có nguyên hàm trên

a) Hàm số

là một nguyên hàm của hàm số

b) Biết

hàm số

.

được xác định bởi

.
là

là họ nguyên hàm của hàm số

Câu 36:Cho hàm số
đúng, sai của các mệnh đề sau.
a)

.

. Gọi

bằng

có nguyên hàm trên

b) Biết

khi đó

và thỏa mãn

Câu 38: Gọi

. Xét tính

. Xét tính đúng, sai
.

.

c) Họ nguyên hàm của hàm số

Giá trị

,

.

là một nguyên hàm của hàm số

và

bằng

.

a) Hàm số

d) Biết

. Tổng

bằng .

bằng

d) Họ nguyên hàm của hàm số

,

là một nguyên hàm của hàm số

b) Giá trị

c) Họ nguyên hàm của hàm số

Câu 37: Cho hàm số
của các mệnh đề sau.

. Xét tính đúng, sai của
.

c) Họ nguyên hàm của hàm số
d) Biết

và thỏa mãn

là

là một nguyên hàm của hàm số

.
, với

.

.
là một nguyên hàm của hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
16

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Có

.

c) Nếu

thì

d) Nếu

thì

b) Nếu

thì

.

thỏa mãn

,

.

Câu 39:Cho hàm số

xác định trên

và

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Có

.

b)

.

c)
.
d)
Câu 40: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

. b) Họ các nguyên hàm của hàm số

c) Họ các nguyên hàm của hàm số

là

d)

.

.
.

Câu 41: Một vật chuyển động với gia tốc
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

là

. Vận tốc ban đầu của vật là

Vận tốc của vật chuyển động là một nguyên hàm của hàm số
.
Tại thời điểm
thì vận tốc của vật bằng
.
Vận tốc của vật là
sau khi chuyển động với gia tốc đó được
Vận tốc của vật bé nhất tại thời điểm
.

Câu 42:Cho hàm số

xác định trên

a)
c) Nếu

.
thì

Câu 43: Biết
sau đúng hay sai?
c) Nếu

,

Câu 1:Cho

xác định trên

. d) Nếu

;

.

trên khoảng

Câu 44: Cho các hàm số

d) Cho
F. TRẢ LỜI NGẮN

thì

b)

thì

a)

.

là một nguyên hàm của hàm số
;

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

thì

. d) Nếu

a)

.

thỏa mãn

b) Nếu

.

,

. Thì

. Các mệnh đề
.
.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
b)

c)
thì
là một nguyên hàm của hàm số
17

. Tính

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 2:Biết
nhiêu?

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 3:Cho

là một nguyên hàm của

và

. Giá trị của

. Biết

Câu 4:Cho hàm số

, giả sử

bằng bao

. Tính

là nguyên hàm của

trên

thỏa mãn

. Tính giá trị của
Câu 5:Cho

là một nguyên hàm của

Câu 6:Cho hàm số
hàm của

có đạo hàm là

thỏa mãn

Câu 7:Cho hàm số

. Biết

, khi đó

và

,

xác định trên

Giá trị của biểu thức

. Biết

là nguyên

,

,

thỏa mãn

. Khi đó

,

bằng

và

.

bằng

Câu 9:Cho hàm số

thỏa mãn

và

Tính

Câu 10:Cho hàm số

thỏa mãn

Câu 11:Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn
. Giá trị

Câu 12:Cho hàm số
bằng

thỏa mãn

Câu 13:Cho hàm số
bằng

thỏa mãn

Câu 14:Cho hàm số

. Biết

c

. Tính
thỏa mãn

.
và

và

với mọi

. Giá trị của

và

với mọi

. Giá trị của

và

. Giá trị của

xác định và liên tục trên
. Tính giá trị của

.

là

thỏa mãn

Câu 15:Cho hàm số

Câu 16:Cho hàm số

.

bằng

thỏa mãn

Câu 8:Cho hàm số

. Tính

đồng thời thỏa mãn

bằng
,

.

thỏa mãn điều kiện

tổng

và
với

và

. Biết rằng

là phân số tối giản. Tính

f x 
 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện
Câu 17:Cho hàm số
có đạo hàm cấp hai trên đoạn
2
f 0   1, f  x   0,  f  x   f  x , x   0;1
f' 2
. Tính giá trị  

N x 

Câu 18:Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là
. Biết rằng
lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn là?
18

N ' x  

2000
1  x và lúc đầu số

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. 10130.

B. 5130.

C. 3154.

D. 10129.

N ' t  

1000
2t  8 . Biết rằng ngày đầu tiên

Câu 19: Số lương đám vi trùng ở ngày thứ t xác định bởi N(t) với
đám vi trùng có 2500 con. Tính số lượng đám vi trùng ở ngày thứ 20 (làm tròn kết quả đến hàng trăm).
Câu 20: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một
tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện đấy có chiều cao là
bao nhiêu?

Câu 21: Một vật chuyển