ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II MÔN TOÁN 9
NĂM HỌC 2024 – 2025
1. Hàm số
DẠNG 1. TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
Bài 1. Cho hàm số

a) Tìm giá trị của

.
tương ứng với giá trị của

trong bảng như sau:

b) Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là
c) Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có tung độ là

.

Bài 2. Cho hàm số

a) Tìm giá trị của hàm số khi
b) Tìm các giá trị của
Bài 3. Cho hàm số

a) Tìm giá trị của

nhận các giá trị lần lượt là

, biết rằng
.

tương ứng với giá trị của

trong bảng như sau:

b) Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là
c) Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có tung độ là
d) Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có tung độ là

.
.

Bài 4. Cho hàm số

a) Tìm giá trị của hàm số khi

nhận các giá trị lần lượt là

b) Tìm các giá trị của

, biết rằng

c) Tìm điều kiện của

biết rằng

DẠNG 2. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. Cho hàm số

.

.

và

.

a) Vẽ đồ thị của hàm số

.

b) Các điểm

có thuộc đồ thị hàm số hay không?

Bài 2. Cho hàm số:

a) Vẽ đồ thị

có đồ thị

.

.

b) Các điểm

có thuộc đồ thị hàm số hay không?

Bài 3. Cho hàm số

.

a) Vẽ đồ thị của hàm số

.

b) Các điểm

có thuộc đồ thị hàm số hay không?

Bài 4. Cho hàm số

.

a) Vẽ đồ thị của hàm số

.

b) Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có tung độ là

.

2. Định lý Viete
Nếu

là hai nghiệm của phương trình

Bài 1. Biết phương trình

trình, hãy tính tổng
Bài 2. Giả sử

và tích

thì:

có hai nghiệm là

và

. Không giải phương

.

là hai nghiệm của phương trình

. Không giải phương

trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau
a)

b)

Bài 3. Cho phương trình

c)
. Với

d)
là nghiệm của phương trình, không

giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

a)

b)

c)

c)

Bài 4. Biết rằng phương trình

của biểu thức

có hai nghiệm phân biệt

.

Bài 5. Cho phương trình:

có hai nghiệm là

trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 6. Gọi

. Tính giá trị

. Không giải phương

.

là hai nghiệm của phương trình :

. Tính giá trị của biểu

thức
Bài 7. Cho phương trình

. Gọi

là hai nghiệm của phương trình.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức
Bài 8. Cho phương trình

có hai nghiệm

.
, giá trị của biểu thức

bằng bao nhiêu?
3. Hình trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ:
Diện tích đáy của hình trụ:
Diện tích toàn phần của hình trụ:
Thể tích của hình trụ:
Bài 1.

Thay dấu “ ”bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau:

Hình trụ

Bán kính

Chiều cao

Diện tích

Diện tích

Thể tích

đáy

(cm)

(cm)

Bài 2.

xung quanh

toàn phần

(cm )

(cm )

2

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng

(cm3)

2

. Biết rằng hình trụ đó có diện tích

toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Tính chiều cao hình trụ.
Bài 3.

Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên

lần, bán kính của nó lên

lần thì thể

tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?
Bài 4.

Cho hình chữ nhật

trung điểm của

và

có

. Gọi

. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục

lần lượt là
ta được một

hình trụ như hình vẽ.

a) Tính diện tích toàn phần

của hình trụ đó.

b) Tính thể tích hình trụ đó.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 5.

Cho hình trụ có bán kính hình tròn đáy bằng

và chiều cao bằng

. Hỏi nếu

tăng chiều cao lên 4 lần và giảm bán kính đáy 2 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng
hay giảm?
Bài 6.

Cho hình trụ có diện tích toàn phần là

và bán kính đáy bằng nửa chiều

cao. Tính thể tích hình trụ?
Bài 7.

Trong không gian cho hình chữ nhật

lần lượt là trung điểm của

và

có

và

. Gọi

. Quay hình chữ nhật đó quanh trục

,

, ta được

một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Bài 8.

Cho hình chữ nhật

điểm của các cạnh

và

có

,

. Gọi

,

lần lượt là trung

. Khi quay hình chữ nhật trên quanh đường thẳng

nhận được một hình trụ như hình vẽ.
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo

ta

A

N

D

B

M

C

.

b) Tính thể tích của hình trụ theo

.

BÀI TẬP ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Bài 1.

Một khúc gỗ hình trụ có đường kính đáy bằng 1,2 m, chiều cao

bằng bán kính đáy (như hình vẽ).
a) Tính diện tích xung quanh của khúc gỗ đó (làm tròn kết quả đến phần trăm).
b) Với thành hiện tại,

gỗ trên bán được 5 triệu đồng. Hãy tính giá thành khúc gỗ trên

nếu đem đi bán.
Bài 2.

Một bồn nước inox Đại Thanh có dạng hình trụ với chiều cao 1,75 m

và diện tích đáy là 0,32 m2.
a) Tính bán kính đáy của bồn nước inox Đại Thanh (làm tròn kết quả đến phần
trăm).
b) Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn).
Bài 3.

Người ta dự định làm dự định làm một chiếc bồn chứa dầu bằng

sắt hình trụ có chiều cao 1,8 m, đường kính đáy 1,2 m. Hỏi chiếc bồn đó
chứa đầy được bao nhiêu lít dầu, biết rằng
1 m3 = 1000 lít (Bỏ qua bề dày của bồn, lấy
Bài 4.

)

Một doanh nghiệp sản xuất vỏ hộp sữa ông thọ dạng hình trụ, có

chiều cao bằng 12 cm. Biết thể tích của hộp là 192 cm3. Tính số tiền mà
doanh nghiệp cần chi để sản xuất 10 000 vỏ hộp sữa ông thọ (kể cả hai nắp
hộp), biết chi phí để sản xuất vỏ hộp đó là 80 000 đồng/m 2. (làm tròn kết
quả đến phần ngàn).
4. Đường tròn
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính
Bài 1. Cho tam giác 

vuông tại

đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Bài 2. Cho

Tính

vuông tại

, có

và

. Tính bán kính

.
, có

và

ngoại tiếp đường tròn

.

Bài 3. Cho tam giác 

giác 

vuông tại

có bán kính là

, có

. Tính

Bài 4. Cho tam giác 

cạnh theo

vuông cân tại

bán kính là

. Tính

Bài 5. Cho tam giác 

ngoại tiếp tam giác
Bài 6. Cho tam giác 

.

, và đường tròn ngoại tiếp tam giác 

, và có

. Tính bán đường tròn

.

có

a) Tính diện tích tam giác

có

.

vuông cân tại
theo

và đường tròn ngoại tiếp tam

.
.

b) Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 2: Tính góc
Bài 7. Trong hình vẽ dưới đây, cho

a) Tính các góc

.

của tứ giác

.

b) Tính

Bài 8. Trong hình vẽ dưới đây, cho

.

.

a) Tính các góc

của tứ giác

.

b) Tính

.

Bài 9. Cho tứ giác

nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó

trong các trườn hợp sau:
a)

và

.

Dạng 3: Tiếp tuyến của đường tròn

b)

và

.

Bài 1. Cho

vuông tại

có

. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng

. Vẽ đường tròn tâm

bán kính

với đường tròn tâm

bán kính

.
Bài 2. Cho

đường thẳng

vuông tại

có

là đường phân giác. Xác định vị trí tương đối của

và đường tròn tâm

bán kính

Bài 3. Cho hình thang vuông

Chứng minh rằng

có

.

tiếp xúc với đường tròn đường kính

Bài 4. Cho điểm

cách đường thẳng

a. Chứng minh rằng đường tròn tâm
b. Gọi hai giao điểm là

và

và đường thẳng

cắt nhau

. Tính

Bài 5. Cho hình vuông

Đường thẳng kẻ qua

một đoạn bằng 6cm, vẽ đường tròn

, trên đường chéo

vuông góc với

cắt

ở

lấy điểm

sao cho

.

.

a) So sánh:
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng
Bài 6. Cho đoạn thẳng

vẽ tia
và

và trung điểm

vuông góc với

sao cho

với đường tròn
của

. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

. Trên các tia

và

lấy theo thứ tự hai điểm

, kẻ

a) Chứng minh rằng

thuộc đường tròn tâm

đường kính

với đường tròn

b) Xác định vị trí tương đối của

Dạng 4: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Bài 1: Cho đường thẳng và điểm
cách một khoảng bằng
hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng

và đường tròn

.

a)
b)
c)
Bài 2: Cho đường thẳng và một điểm cách một khoảng
tương đối của với các đường tròn sau:
a) Đường tròn

b) Đường tròn

Bài 3: Cho đường tròn
từ
xuống ,
đường thẳng

. Không vẽ hình,

. Xác định vị trí

c) Đường tròn

và đường thẳng . Gọi
là chân đường vuông góc vẽ
là độ dài của đoạn thẳng
. Xác định vị trí tương đối của

và đường tròn

trong mỗi trường hợp sau:

a)

b)

c)

Bài 4: Trong hệ tọa độ
cho điểm
. Hãy xác định vị trí tương đối của đường
tròn tâm , bán kính
với các hệ trục tọa độ.
Bài 5: Cho đường thẳng và một điểm
cách một khoảng
. Vẽ đường tròn tâm
, bán kính
a) Giải thích vì sao

và

cắt nhau

b) Gọi
và
là các giao điểm của đường thẳng
và đường tròn
.
Tính độ dài của dây
.
Bài 6: Cho tam giác nhọn
có đường cao
. Đường thẳng
có tiếp xúc với
đường tròn
hay không? Vì sao?
Dạng 5: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
hợp sau:
a)

;

c)

;

;

;

và

b)

;

;

d)

;

;

Bài 2: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn
hợp sau:
a)

;

;

b)

c)

;

;

d)

Bài 3: Cho hai điểm
tròn

cắt nhau.

Bài 4: Cho đường tròn

và điểm

và

Bài 6: Cho hai đường tròn
cắt nhau hay không?

;

Bài 7: Cho hai điểm
và

và

sao cho

trong mỗi trường
;

;

;

. Hãy giải thích tại sao hai đường

cách

một khoảng

tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn
Bài 5: Cho hai đường tròn
đối của hai đường tròn đó.

và
;

và O\prime sao cho
và

trong mỗi trường

trong mỗi trường hợp sau:

. Biết rằng
với

. Xác định vị trí

. Xét vị trí tương
. Hỏi hai đường tròn đó có

. Giải thích tại sao hai đường tròn

tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Bài 8: Cho hai điểm

và

sao cho

và
5. Tứ giác nội tiếp
Bài 1.

có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao

là giao điểm của

a) Chứng minh
Bài 2.

tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Cho tam giác

. Gọi

và

và

của tam giác

.

là tứ giác nội tiếp.b) Chứng minh

Cho tam giác nhọn
lần lượt tại

tại

. Giải thích tại sao hai đường tròn

là tứ giác nội tiếp.

. Đường tròn

. Đường thẳng

cắt

tại

đường kính

và đường thẳng

cắt
cắt

.

a) Chứng minh tứ giác

nội tiếp.

Bài 3.

Cho tứ giác nội tiếp

cao

và

có tam giác

của tam giác

a) Chứng minh

.

b) Chứng minh

.

c) Chứng minh

.

Bài 4.

b) Chứng minh tứ giác

. Gọi

.

(C khác

Đường thẳng qua D và vuông góc với

tại E. Chứng minh rằng:
nội tiếp được

a) Tứ giác

Cho tam giác

b)

có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn

là điểm trên dây cung

không chứa điểm

thứ tự là các điểm đối xứng của

là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh

thẳng hàng.

Cho đường tròn
với đường tròn

a) Chứng minh tứ giác
b) Chứng minh rằng

và điểm
(

(

khác

có trực tâm là điểm
). Gọi

theo

qua các đường thẳng

a) Chứng minh

Bài 6.

và

Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm C sao cho

cắt

. Gọi

là tam giác nhọn. Vẽ các đường

là giao điểm của

và B). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng

Bài 5.

nội tiếp.

ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến

là các tiếp điểm). Gọi

là trung điểm

nội tiếp và xác định tâm

của đường tròn này.

.

.

c) Gọi

là trọng tâm tam giác

d) Chứng minh
Bài 7.

. Chứng minh

vuông góc với

Cho tam giác

.

và đường cao

gọi

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại

. Chứng minh

Bài 8.

cho

lần lượt là trung điểm của

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

là tứ giác nội tiếp và

Trên các cạnh

đi qua trung điểm của

của hình vuông

. Đường thẳng

.

.

ta lấy lần lượt các điểm

cắt các đường thẳng

sao

tương ứng tại các điểm

.
a) Chứng minh rằng các tứ giác

và

nội tiếp.

b) Chứng minh rằng các điểm

nằm trên cùng một đường tròn.

6. Đa giác đều
Bài 1. Tính số đo của mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều ( đa giác
đều 8 cạnh).
Bài 2.

Tính số cạnh của một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng

Bài 3.

Cho tam giác đều

,

, các đường cao

theo thứ tự là trung điểm của

,

,

,

,

.

cắt nhau tại

. Gọi ,

. Chứng minh rằng

là lục giác

đều.
Bài 4.

Cho lục giác đều

. Gọi

. Chứng minh rằng
Bài 5.

Cho lục giác đều

điểm

,

rằng

,

,

,

là trung điểm của

,

là trung điểm của

là tam giác đều.
. Trên cạnh
,

,

,

,

,

sao cho

,

lấy các

. Chứng minh

là một lục giác đều.

7. Phép quay
Bài 1. Cho tam giác đều
a) Phép quay thuận chiều tâm

tâm

.

biến điểm

thành điểm

thì các điểm

tương

biến điểm

thành điểm

thì các điểm

tương

ứng biến thành các điểm nào?
b) Phép quay ngược chiều tâm
ứng biến thành các điểm nào?
c) Chỉ ra các phép quay tâm
Bài 2.

Cho hình vuông

giữ nguyên hình tam giác đều
tâm

.

.

a) Phép quay thuận chiều tâm

biến điểm

thành điểm

thì các điểm

tương

biến điểm

thành điểm

thì các điểm

tương

ứng biến thành các điểm nào?
b) Phép quay ngược chiều tâm
ứng biến thành các điểm nào?
giữ nguyên hình vuông

c) Chỉ ra các phép quay tâm
Cho hình ngũ giác đều

tâm

a) Phép quay thuận chiều tâm

biến điểm

Bài 3.

thì các điểm

.

.
thành điểm

tương ứng biến thành các điểm
nào?

b) Phép quay ngược chiều tâm
thì các điểm

biến điểm

thành điểm

tương ứng biến thành các điểm

nào?
c) Chỉ ra các phép quay tâm

giữ nguyên hình ngũ giác đều

.

8. Thống kê
Dạng 1: Bảng tần số
Bài 1. Cho biểu đồ tranh biểu diễn số lượng học sinh trong lớp đăng kí tham gia các
câu lạc bộ của trường như sau:

Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ tranh trên.
Bài 2.

Sau khi điều tra 60 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số nhân khẩu của mỗi hộ

gia đình, người ta được dãy số liệu thống kê (hay còn gọi là mẫu số liệu thống kê) như
sau:

a) Trong 60 số liệu thống kê ở trên, có bao nhiêu giá trị khác nhau?
b) Mỗi giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 3.

Số cuộc gọi đến một tổng đài hỗ trợ khách hàng mỗi ngày trong tháng 01/2024

được ghi lại như sau:

a) Xác định cỡ mẫu.
b) Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.
c) Có bao nhiêu giá trị có tần số lớn hơn 4?
Dạng 2: Biểu đồ
Bài 1.

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 24 lần. Sau mỗi lần gieo, vẽ thêm

một ô vuông lên trên cột ghi kết quả tương ứng như hình bên.

Độ cao của mỗi cột cho ta biết thông tin gì về kết quả của 24 lần gieo?
Bài 2.

Biểu đồ hình bên dưới cho biết số ngày sử dụng phương tiện đến trường của bạn

Mai trong tháng 9. Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

Bài 3.

Thống kê thâm niên công tác (đơn vị: năm) của 33 nhân viên ở một công sở như

sau: 

a) Lập bảng tần số ở dạng bảng dọc của mẫu số liệu thống kê đó
b) Vẽ biểu đồ tần số lở dạng biểu đồ đoạn thẳng của mẫu số liệu thống kê trên.

Bài 4.

Cô Hằng thống kê lại số cuộc gọi điện thoại mà mình thực hiện ở tháng 01/

2024 ở bảng tần số như sau:

Hãy vẽ biểu đồ cột và biểu đồ đoạn biểu diễn mẫu số liệu trên.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 5.

Biểu đồ bên dưới thống kê thời gian công tác (theo năm) của các y tá ở một

phòng khám tư nhân ở Nha Trang.

a) Các y tá của phòng khám có thời gian công tác nhận những giá trị nào? Tìm tần số mỗi
giá trị đó.
b) Phòng khám có tổng bao nhiêu y tá?
c) Có bao nhiêu y tá đã công tác ở phòng khám ít nhất 3 năm?
9. Xác suất
Xác suất của biến cố

, kí hiệu

, bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố

và tổng số kết quả có thể xảy ra.
Bài 1.

Các kết quả của một phép thử sau có cùng khả năng xảy ra không? Tại sao?

a) Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ một hộp có 10 viên bi giống nhau được đánh số từ 1 đến
10.
c) Lấy ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ một hộp chứa 2 tấm thẻ ghi số 5 và 5 tấm thẻ ghi số 2 và
xem số của nó
Bài 2.

Kết quả của mỗi phép thử sau có đồng khả năng không? Tại sao?

a) Rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 10.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ danh sách lớp.
c) Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ một hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 8 viên bi
trắng rồi quan sát màu của nó, biết rằng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng.
Bài 3.

Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 3 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn

ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Xét biến cố sau: “Trong hai bạn được chọn ra, có một
bạn nam và một bạn nữ”. Tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên nói trên?
Bài 4.

Hình bên dưới mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng

nhau và ghi các số 1, 2, 3, ..., 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của
đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”.
a) Viết tập hợp 

 gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số ghi ở hình quạt mà chiếc

kim chỉ vào khi đĩa dừng lại.
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “ Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia
hết cho 3”.
c) Tìm tỉ số giữa các kết quả thuận lợi cho biến cố A và số phần tử của tập hợp 

.

d) tính xác suất của biến cố D: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố”.
Bài 5.

Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết

lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, ..., 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau.
Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”.
a) Viết không gian mẫu phép thử đó.
b) Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.
Bài 6.

Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ...,

52; hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau.
Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất các biến cố sau:
a) “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn 27”.
b) “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lớn hơn 19 và nhỏ hơn 51”.

Bài 7.

Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có ba

điểm nào thẳng hàng. Hai điểm A, B được tô màu đỏ, ba điểm C, D, E được tô màu xanh.
Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ và một điểm tô màu xanh (trong năm
điểm đó) để nối thành một đoạn thẳng.
a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Châu thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
P: “Trong hai điểm chọn ra, có điểm A”;
Q: “Trong hai điểm chọn ra, không có điểm C”.